Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Definition

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion und einer oder mehrerer ihrer Ableitungen abbilden.

Eine Differentialgleichung lösen heißt dann, eine Funktion zu finden, die (auch mit ihren Ableitungen) den Zusammenhang (für alle x) erfüllt.

Beispiel

Hier wird der umgekehrte Weg gegangen: wir nehmen eine Funktion und bauen uns eine Differentialgleichung dazu:

Die Funktion sei y = f(x) = 2x.

Dann könnte eine Differentialgleichung dazu sein:

x × y'' - y' + 2 = 0.

(In Worten: x mal die 2. Ableitung der Funktion minus die 1. Ableitung der Funktion plus 2 ist gleich 0).

Die 1. Ableitung von y = f(x) = 2x ist y' = f'(x) = 2.

Die 2. Ableitung von y = f(x) = 2x ist y'' = f''(x) = 0.

Dies in die Differentialgleichung eingesetzt:

x × 0 - 2 + 2 = 0

x × 0 = 0

Die Gleichung ist (für alle x) erfüllt.

Üblicherweise ist es aber wie gesagt anders herum: man hat die Differentialgleichung und muss die zugehörige Funktion erst (mühsam) finden; und nicht alle Differentialgleichungen können gelöst werden.