Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Definition

Eine gebrochen-rationale Funktion ist zum Beispiel

$$f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 - 4}$$

Das ist ein Quotient aus 2 Polynomfunktionen: das Zählerpolynom könnte man als $g(x) = 2x + 4$ schreiben, das Nennerpolynom als $h(x) = x^2 - 4$.

Zählergrad und Nennergrad

Der Grad des Zählerpolynoms ist hier 1 (nur ein x bzw. x¹), der Grad des Nennerpolynoms ist 2 (wegen des x² mit dem Exponenten 2).

Echt vs. unecht gebrochen-rationale Funktion

Ist wie im Beispiel Zählergrad < Nennergrad, liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor (ansonsten eine unecht gebrochen-rationale Funktion).

Nullstellen

Da man nicht durch 0 teilen darf, ist die Funktion für die Nullstellen des Nennerpolynoms nicht definiert.

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählerpolynoms (sofern in der Definitionsmenge der Funktion).

Die obige Funktion kann man umformen:

$$f(x) = \frac{2 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (x - 2)} = \frac{2}{(x - 2)}$$

Wir haben hier im Zähler ausgeklammert, im Nenner die 3. binomische Formel angewendet und dann gekürzt.

Bei x = 2 ist eine Definitionslücke.

Diese gebrochen-rationale Funktion hat keine Nullstellen.