Halbwertszeit
Halbwertszeit Definition
Eine Exponentialfunktion bildet oft exponentiellen Verfall abhängig von der (vergangenen) Zeit ab.
Die Halbwertszeit ist dann die Zeit, bis sich der Funktionswert halbiert hat (allgemein in der Mathematik; in der Physik oft im Zusammenhang mit radioaktivem Zerfall und in der Medizin die Zeitspanne, in der sich die Arzneimittelkonzentration halbiert.)
Beispiel
Beispiel Halbwertszeit
Im Beispiel zur Exponentialfunktion lautete die Funktion f(x) = b × ax und mit beispielhaften Zahlen für den exponentiellen Zerfall f(x) = 3 × 2-x (mit negativem Exponenten).
Dabei ist b bzw. 3 der Bestand (vor dem exponentiellen Verfall), im Beispiel unten sind das die Umsätze in Mio. € im ersten Jahr der Betrachtung.
Betrachtet man x als Zeitvariable (zum Beispiel in Jahren gemessen) und f(x) als Umsatz in Mio. €, könnte man fragen, nach welcher Zeitspanne sich der Umsatz jeweils halbiert, wenn man keine Werbung macht.
Anders gefragt: Mit welchem (negativen) Exponenten x muss man a potenzieren, damit a-x = 0,5 ist.
a-x = 0,5 = 1/2 ist gleichbedeutend mit ax = 2 (x dann als positiver Exponent und 2 ist der Kehrwert von 1/2). Die dazugehörige Formel ist deshalb:
x = ln 2 / ln a.
Dabei ist ln der natürliche Logarithmus (und eine Taste auf dem Taschenrechner).
In der Beispielfunktion ist a = 2, deshalb: x = ln 2 / ln 2 = 1.
Nach einer Zeiteinheit (1 Jahr) halbiert sich jeweils der Umsatz.
Kontrolle:
f(0) = 3 × 20 = 3 × 1 = 3.
f(1) = 3 × 2-1 = 3 × 0,5 = 1,5.
f(2) = 3 × 2-2 = 3 × 0,25 = 0,75.
f(3) = 3 × 2-3 = 3 × 0,125 = 0,375.
Und so weiter.
Der Umsatz halbiert sich von anfänglich 3 Mio. € auf 1,5 Mio € nach einem Jahr, weiter auf 0,75 Mio. € nach zwei Jahren, weiter auf 0,375 Mio. € nach drei Jahren und so weiter.