Ober- und Untersumme
Ober- und Untersumme Definition
Mit der Integralrechnung können "kurvige Flächen" berechnet werden, zum Beispiel die Fläche zwischen einer Funktionskurve und der x-Achse oder auch die Fläche eines Kreises (dafür gibt es allerdings auch eine einfache Formel).
Durch Ober- und Untersumme kann man sich der Fläche annähern; die Grundidee anhand eines Beispiels:
Beispiel
Beispiel: Ober- und Untersumme
Zeichnet man auf ein kariertes Papier einen Kreis mit dem Radius "2 Kästchen" (das sind 2 × 0,5 cm = 1 cm) und markiert die vollständigen Kästchen (das heißt ohne die durch die Kreislinie angeschnittenen Kästchen) innerhalb des Kreises, sind das 4 Stück. Das ist die Untersumme: die Kreisfläche ist größer als 4 Kästchen (= 1 cm2).
Markiert man nun (in einer anderen Farbe) die Kästchen, die durch die Kreislinie angeschnitten werden, sind das weitere 12 Kästchen. Zusammen mit den 4 vollständigen Kästen sind dies 16, das ist die Obersumme: die Kreisfläche ist kleiner als 16 Kästchen (= 4 cm2), der Kreis liegt innerhalb des Quadrats von 4 × 4 Kästchen (= 4 cm2).
Die Kreisfläche liegt also zwischen 1 cm2 und 4 cm2. Das ist noch sehr grob; man könnte aber die Quadrate immer mehr verkleinern (zum Beispiel zunächst auf halbe Kästchen, das heißt 0,25 cm und weiter auf Viertel-Kästchen mit 0,125 cm Länge usw.). Dadurch passen immer mehr (kleinere) Quadrate in den Kreis, die Untersumme nimmt zu (und die Obersumme nimmt ab). Ober- und Untersumme als Grenzen des Kreises rücken immer näher zusammen und man nähert sich der tatsächlichen Kreisfläche immer mehr.
(Um die Kreisfläche zu berechnen, braucht man diese Vorgehensweise nicht; die Formel für die Kreisfläche ist $r^2 \cdot \pi$. Dabei ist r der Radius (hier: 1 cm) und $\pi$ ist die Kreiszahl (auf 2 Nachkommastellen: 3,14). Die Kreisfläche ist also circa $1,0 \,cm^2 \cdot 3,14 = 3,14 \,cm^2$; für andere Flächenberechnungen hingegen gibt es keine Formeln und man benötigt die Integralrechnung, die auf der Annäherung durch Ober- und Untersummen basiert.)