Bedingter Erwartungswert

Bedingter Erwartungswert Definition

Der bedingte Erwartungswert ist der Erwartungswert, wenn man schon weiß bzw. die Information bekommt, dass eine Zufallsvariable nur bestimmte Werte annimmt oder angenommen hat.

Formel

$$E_A (X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P_A (X = x_i)$$

Das Ergebnis ist der bedingte Erwartungswert $E_A (X)$ der Zufallsgröße X unter der Bedingung, dass Ereignis A eingetreten ist.

Der Term $P_A (X = x_i)$ meint die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße den Wert $x_i$ annimmt, wenn Ereignis A eingetreten ist.

Beispiel

Beispiel: Bedingter Erwartungswert

Wenn man mit einem (fairen) Würfel würfelt, hat jede der sechs Augenzahlen von 1 bis 6 eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.

Formal:

  • Die Zufallsvariable X gibt die gewürfelte Augenzahl an;
  • X kann die Werte x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 und x6 = 6 annehmen, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6.

„Normaler“ Erwartungswert

Würde man die Augenzahl in ihrer Höhe in Euro vergüten, wäre der Erwartungswert dieses Spiels:

E(X) = 1/6 × 1 Euro + 1/6 × 2 Euro + 1/6 × 3 Euro + 1/6 × 4 Euro + 1/6 × 5 Euro + 1/6 × 6 Euro = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 Euro = 21/6 Euro = 3,50 Euro.

Bedingter Erwartungswert

Erhält man nun die Information, dass dieser spezielle Würfel nur auf ungerade Augenzahlen fällt (also nur auf 1, 3 oder 5), ist der bedingte Erwartungswert unter der Bedingung bzw. dem Ereignis A „Nur ungerade Zahlen“ so:

EA (X) = 1/3 × 1 Euro + 1/3 × 3 Euro + 1/3 × 5 Euro = 1/3 + 3/3 + 5/3 Euro = 9/3 Euro = 3 Euro.

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl jeweils 1/3 statt vorher 1/6 (die Zahlen 2, 4 und 6 wurden sozusagen aus dem Spiel genommen).

Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl ist jeweils 0; deshalb haben wir die Berechnungen für die Augenzahlen 2, 4 und 6 aus der Berechnung des bedingten Erwartungswerts herausgelassen (ein Wert von 2, 4 oder 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 multipliziert ergibt immer 0).

Sonst sähe die lange Berechnung so aus:

EA (X) = 1/3 × 1 Euro + 0 × 2 Euro + 1/3 × 3 Euro + 0 × 4 Euro + 1/3 × 5 Euro + 0 × 6 Euro = 1/3 + 0 + 3/3 + 0 + 5/3 + 0 Euro = 9/3 Euro = 3 Euro.