Mittlere und momentane Änderungsrate
Mittlere und momentane Änderungsrate Definition
Der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate anhand eines Beispiels:
Beispiel
Die Funktion sei f(x) = x2. Dabei kann man sich ein kleines ferngesteuertes Auto vorstellen, dass in x Sekunden f(x) Meter (vom Startpunkt aus betrachtet) zurücklegt, also nach 1 Sekunde 12 = 1 Meter, nach 2 Sekunden 22 = 4 Meter, nach 3 Sekunden 32 = 9 Meter usw. (das Auto wird immer schneller).
Nun soll die mittlere Geschwindigkeit (allgemein: die mittlere Änderungsrate) im Intervall [2, 5], also 2 bis 5 Sekunden berechnet werden.
Dazu werden die Funktionswerte für 2 und 5 in Meter berechnet:
f(2) = 22 = 4.
f(5) = 52 = 25.
Die mittlere Geschwindigkeit in dem Intervall ist dann:
$$\frac{25 m - 4 m}{5 s - 2 s} = \frac{21 m}{3 s} = 7 \frac{m}{s}$$
Diese mittlere Geschwindigkeit / Änderungsrate gibt an, um wieviele Meter sich das Auto pro Sekunde im Durchschnitt in dem Intervall bewegt: um 7 m/s. Von den 4 Meter ausgehend bei 2 Sekunden kommen pro Sekunde 7 Meter dazu und bei 3 Sekunden bis 5 sind das 21 Meter und das Auto ist bei 25 Meter angelangt.
Die mittlere Änderungsrate hängt vom Intervall ab. In einem anderen Intervall, z.B. [2, 7], hätte die mittlere Änderungsrate hier einen anderen Wert (weil das Auto beschleunigt und die quadratische Funktion das widerspiegelt; bei einer linearen Funktion nicht).
Nun soll die momentane Geschwindigkeit (allgemein: die momentane Änderungsrate) an einer bestimmten Stelle, z.B. bei 2 Sekunden (also nicht in einem Intervall) berechnet werden.
Dazu wird die 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) = x2 gebildet:
f'(x) = 2x.
Die 1. Ableitung wird an der Stelle x = 2 (Sekunden) berechnet:
f'(2) = 2 × 2 = 4.
Das bedeutet? Erhöht man die Zeit ausgehend von 2 Sekunden ein ganz klein wenig (marginal) um z.B. eine Hundertstel Sekunde (0,01 Sekunden), ändert sich die Geschwindigkeit um näherungsweise 4 mal 0,01 = 0,04 Einheiten (f(2) war 22 = 4 und f(2,01) = 2,012 = 4,0401).
Die momentane Änderungsrate ist bei dieser (quadratischen) Funktion an jeder Stelle anders, z.B. bei 3 Sekunden: f'(3) = 2 × 3 = 6 (man sagt auch: lokale Änderungsrate, weil sie sich auf eine Stelle bezieht).
Erhöht man ausgehend von 3 Sekunden die Zeit um eine Hundertstel Sekunde, ändert sich die Geschwindigkeit um näherungsweise 6 mal 0,01 = 0,06 Einheiten (f(3) war 32 = 9 und f(3,01) = 3,012 = 9,0601).
Alternative Begriffe: Änderungsraten.