Multiplikationssatz

Multiplikationssatz Definition

Der Multiplikationssatz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten stochastisch unabhängiger Ereignisse (das ist die Voraussetzung für die untere Formel) durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet werden kann.

Zur Erinnerung: Ereignisse sind dann voneinander unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eines Würfels eine 6 zu haben, ist 1/6 und zwar unabhängig davon, ob beim ersten Wurf eine 6 gewürfelt wurde. Die Ereignisse „6 beim zweiten Wurf“ und „6 beim ersten Wurf“ sind stochastisch voneinander unabhängig.

Formel

Als Formel (mit P für Wahrscheinlichkeit):

P (A UND B) = P (A) × P (B).

Beispiele

Beispiel 1: stochastisch unabhängig

Es wird zweimal gewürfelt. Die zwei Würfe sind stochastisch unabhängig (egal, was im ersten Wurf gewürfelt wird: die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl beim zweiten Wurf ist 1/6).

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu würfeln?

Als Ereignisse kann man definieren:

  • A: beim ersten Wurf wird eine 6 gewürfelt,
  • B: beim zweiten Wurf wird eine 6 gewürfelt.

Dann ist: P (A UND B) = P (A) × P (B) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Beispiel 2: stochastisch abhängig

Sind die Ereignisse hingegen nicht stochastisch unabhängig, wird die Wahrscheinlichkeit von B in der obigen Formel durch die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist, ersetzt:

P (A UND B) = P (A) × P (B | A)

Das Würfelexperiment etwas abgewandelt:

In einer Lostrommel liegen zwei Serien mit Kugeln von 1 bis 6 durchnummeriert (also in Summe 12 Kugeln).

Es wird zweimal eine Kugel gezogen, die gezogenen Kugeln werden nicht in die Lostrommel zurück gelegt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu ziehen?

Als Ereignisse kann man definieren:

A: beim ersten Wurf wird eine 6 gezogen

B: beim zweiten Wurf wird eine 6 gezogen

Die Ereignisse sind nun nicht mehr stochastisch unabhängig:

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine 6 zu ziehen, ist 2/12 = 1/6.

Wenn aber im ersten Wurf eine 6 gezogen wurde, ist von den 11 verbliebenen Kugeln nur noch eine Kugel eine 6.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist, ist 1/11.

P (A UND B) = P (A) x P (B | A) = 1/6 × 1/11 = 1/66.