Quotientenkriterium
Quotientenkriterium Definition
Mit dem Quotientenkriterium können Reihen auf Konvergenz untersucht werden, das heißt, daraufhin, ob eine Reihe gegen einen (endlichen) Wert läuft.
Dafür bildet man für eine Reihe $ = \sum a_n$ den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty} \vert \frac{a_{n + 1}}{a_n} \vert$
(Darauf achten, dass sich der Quotient innerhalb eines Betragszeichens befindet; wenn man weiß, dass der innere Term nicht kleiner 0 sein kann, entfällt das Betragszeichen.)
Ist dieser Grenzwert
- < 1, konvergiert die Reihe
- > 1, divergiert die Reihe
- = 1, kann man es nicht sagen (weitere Prüfungen notwendig).
Weitere Konvergenzkriterien
Neben dem Quotientenkriterium gibt es weitere Konvergenzkriterien wie das Majorantenkriterium oder Wurzelkriterium.
Beispiel
Beispiel: Quotientenkriterium
Die Reihe sei
$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{2^n}$$
Um den Grenzwert zu berechnen, wird zunächst der Quotient gebildet:
$$\lim\limits_{n\to\infty} \vert \frac{a_{n + 1}}{a_n} \vert$$
Dabei ist $\frac{n}{2^n}$ unser $a_n$ in der obigen Formel und $\frac{n + 1}{2^{n + 1}}$ unser $a_{n + 1}$.
Man zählt also im Zähler einfach jeweils 1 zu n dazu (wenn man Zahlen hätte, würde man zum Beispiel 5 für n = 4 statt (n +1) = (4 + 1) schreiben oder 3 für n = 2).
Und da der Term für positive n (von 1 bis plus unendlich) nicht kleiner 0 werden kann, kann das Betragszeichen wegfallen:
$$\frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^n}}$$
Anschließend wird der Term umgeformt:
$$= \frac{(n + 1) \cdot 2^n}{2^{n + 1} \cdot n} = \frac{n + 1}{2 \cdot n}$$
$$= \frac{n \cdot (1 + \frac{1}{n})}{2 \cdot n} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})$$
Wenn man für $(1 + \frac{1}{n})$ n gegen unendlich laufen lässt, geht der Term gegen 1 und der Grenzwert ist dann 1/2 bzw. 0,5:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$$
Da der Grenzwert mit 0,5 < 1 ist, konvergiert die Reihe.
Hinweis: Der Grenzwert, der für das Quotientenkriterium berechnet wird, ist nicht der Grenzwert der Reihe.
Der berechnete Grenzwert des Quotientenkriteriums ist nur dafür da, einzuordnen, ob die Reihe konvergiert (nicht wohin sie konvergiert), ob sie divergiert oder ob man es mit diesem Kriterium (Quotientenkriterium) nicht sagen kann (man muss dann andere Konvergenzkriterien anwenden).