Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Totale Wahrscheinlichkeit Definition

Mit der totalen Wahrscheinlichkeit bzw. über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit können Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt sind.

Für die Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten gewichtet und aufaddiert.

Formel

Als Formel:

$$P(B) = \sum_{i = 1}^n P (B | A_i) \cdot P (A_i)$$

Alternative Begriffe: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Beispiel: totale Wahrscheinlichkeit berechnen

Gegeben seien die Daten des Beispiels zum Satz von Bayes:

Ein Unternehmen hat 2 Werke, in denen dasselbe Produkt hergestellt wird:

  • Werk A stellt 70 % der Gesamtstückzahl her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk A sei 10 %; dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk A kommt (Bedingung);
  • Werk B stellt die restlichen 30 % her, die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt in Werk B sei 20 %; dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk B kommt.

Wie groß ist die (totale) Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist?

Dabei seien

  • P: Abkürzung für Wahrscheinlichkeit (probability);
  • A: "Produkt kommt aus Werk A" und ¬ A das Gegenereignis "Produkt kommt nicht aus Werk A" (sondern aus Werk B):
  • B: "Produkt defekt" mit P (B) als Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt;
  • P (B | A): die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es aus Werk A kommt;
  • P (B | ¬ A): die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, wenn es nicht aus Werk A (sondern B) kommt.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden

P (B) = P (B | A) × P (A) + P (B | ¬ A) × P (¬ A)

P (B) = 0,1 × 0,7 + 0,2 × 0,3 = 0,07 + 0,06 = 0,13 = 13 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist, ist also 13 %.

Kontrolle

Das kann man auch leicht nachvollziehen, wenn man sich beispielsweise die Produktion von 100 Stück vorstellt:

Von den 100 Stück werden 70 % = 70 Stück in Werk A hergestellt und davon sind 10 % = 7 defekt.

Von den 100 Stück werden 30 % = 30 Stück in Werk B hergestellt und davon sind 20 % = 6 defekt.

In Summe sind 13 Stück defekt.

Anmerkung

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit setzt voraus, dass der Ereignisraum vollständig in sich gegenseitig ausschließende Ereignisse mit den Indizes 1 bis n unterteilt wurde (so wie oben mit Werk A und Werk B, die 100 % abdecken).