Definition
Die Chi-Quadrat-Verteilung – kurz: χ2-Verteilung – gehört zu den stetigen Testverteilungen, sie hat nur einen Parameter: die Anzahl der Freiheitsgrade.
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist für kleine Freiheitsgrade eine rechtsschiefe Verteilung, mit zunehmender Anzahl der Freiheitsgrade nähert sich die Form der Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung, d.h. einer symmetrischen Verteilung, an.
Die Gesamtfläche unterhalb der Chi-Quadrat-Verteilung ist (wie immer bei stetigen Verteilungen) 1.
Die Werte χ2 der Chi-Quadrat-Verteilung sind alle positiv und werden i.d.R. einer Tabelle entnommen oder mit einem Statistikprogramm berechnet.
Auf der Chi-Quadrat-Verteilung beruhen mehrere Tests:
Chi-Quadrat-Tabelle
In der folgenden Chi-Quadrat-Verteilungstabelle (Ausschnitt; gerundet auf 3 Nachkommastellen) stehen in den Zeilen die unterschiedlichen Freiheitsgrade (hier von 1 bis 15), in den Spalten die jeweiligen kritischen rechts liegenden Bereiche.
Ist der Stichprobenumfang z.B. 10, ist die Anzahl der Freiheitsgrade 10 - 1 = 9. Ist das Signifikanzniveau 0,05 bei einem einseitigen Test, ist der Wert in der dazugehörigen Spalte zu suchen; der Wert in der Tabelle ist 16,919.
|
0,975 |
0,95 |
0,05 |
0,25 |
|
|---|---|---|---|---|
|
1 |
0,001 |
0,004 |
3,841 |
5,024 |
|
2 |
0,051 |
0,103 |
5,991 |
7,378 |
|
3 |
0,216 |
0,352 |
7,815 |
9,348 |
|
4 |
0,484 |
0,711 |
9,488 |
11,143 |
|
5 |
0,831 |
1,145 |
11,070 |
12,833 |
|
6 |
1,237 |
1,635 |
12,592 |
14,449 |
|
7 |
1,690 |
2,167 |
14,067 |
16,013 |
|
8 |
2,180 |
2,733 |
15,507 |
17,535 |
|
9 |
2,700 |
3,325 |
16,919 |
19,023 |
|
10 |
3,247 |
3,940 |
18,307 |
20,483 |
|
11 |
3.816 |
4,575 |
19,675 |
21,920 |
|
12 |
4,404 |
5,226 |
21,026 |
23,337 |
|
13 |
5,009 |
5,892 |
22,362 |
24,736 |
|
14 |
5,629 |
6,571 |
23,685 |
26,119 |
|
15 |
6,262 |
7,261 |
24,996 |
27,488 |
Fazit
- Die χ2-Verteilung hat nur einen Parameter: die Freiheitsgrade (degrees of freedom) df = n − 1.
- Für kleine df ist sie rechtsschief; mit wachsendem df nähert sie sich der Normalverteilung an.
- Alle χ2-Werte sind positiv; die Gesamtfläche unter der Kurve beträgt 1.
- Sie bildet die Grundlage für den Chi-Quadrat-Anpassungstest und den Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest.
Selbsttest: Chi-Quadrat-Verteilung
Aufgabe: Chi-Quadrat-Verteilung
Ein Forscher führt einen Chi-Quadrat-Test mit n = 6 Beobachtungen durch. Das Signifikanzniveau beträgt α = 0,05 (einseitiger Test, rechte Seite).
Bestimmen Sie (a) die Freiheitsgrade und (b) den kritischen χ2-Wert aus der Tabelle im Artikel.
(a) Freiheitsgrade:
df = n − 1 = 6 − 1 = 5
(b) Kritischer χ2-Wert (aus der Tabelle im Artikel):
Zeile df = 5, Spalte α = 0,05 (rechts liegender Bereich):
χ2krit = 11,070
Liegt der berechnete Prüfwert χ2 > 11,070, wird H0 abgelehnt.