Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen Definition
Bei einer Exponentialgleichung steht eine Variable x im Exponenten, zum Beispiel 3x = 27.
Hier sieht bzw. kennt man das Ergebnis (33 = 27, x ist also 3).
In anderen Fällen kann man die Exponentialgleichung über den Logarithmus oder über einen Exponentenvergleich lösen.
Beispiele
Beispiel 1: Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen
x = log3 27 (Logarithmus von 27 zur Basis 3).
Für den Taschenrechner (dieser kann meist nur mit dem Logarithmus zur Basis 10 und mit dem natürlichen Logarithmus rechnen) umformen:
x = log10 27 / log10 3 = 3 (Logarithmus von 27 zur Basis 10 geteilt durch Logarithmus von 3 zur Basis 10)
(Taschenrechner: 27 und LOG-Taste geteilt durch 3 und LOG-Taste).
Beispiel 2: Exponentialgleichung mit Exponentenvergleich lösen
Eine einfache Form des Exponentenvergleichs sieht so aus:
3x = 27
Nun schreiben wir 27 als 33 und setzen dies in die Gleichung ein:
3x = 33
Die Exponenten müssen übereinstimmen, damit die Gleichung stimmt; x muss dann 3 sein.
Etwas komplexer (Potenzgesetze anwenden):
$$16^x = 4$$
$$(2^4)^x = 2^2$$
Mit dem Potenzgesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ gilt:
$$2^{4 \cdot x} = 2^2$$
4x muss dann gleich 2 sein, daraus folgt, dass x = 0,5 ist.
Kontrolle:
$$16^{0,5} = 4$$
Der Exponentenvergleich setzt allerdings gleiche Basen voraus (im ersten Beispiel die Zahl 3, im zweiten die Zahl 2) und kommt deshalb nur selten in Betracht.