Logarithmus

Logarithmus Definition

Hat man zum Beispiel eine Gleichung 3^x = 9 (allgemeine Form: a^x = b) und möchte wissen, wie hoch x sein muss, damit die Gleichung aufgeht, kennt oder sieht man hier sofort die Lösung 2 (3² = 9).

In dem meisten Fällen kennt man sie aber nicht und der Logarithmus – als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion – bringt dann die Lösung. Man schreibt:

log_ab = x (Logarithmus von b zur Basis a gleich x)

bzw. im Beispiel mit a = 3 und b = 9:

log₃9 = x (Logarithmus von 9 zur Basis 3 gleich x)

Die Frage "3 hoch welche Zahl ist 9?" kann man im Kopf ausrechnen, meistens wird aber der Taschenrechner benötigt.

Dieser kann in der Regel nur mit Logarithmen zur Basis 10 oder zur Basis e (und nicht wie im Beispiel zur Basis 3) rechnen, deshalb muss zunächst umgeformt werden (sogenannter Basiswechsel):

allgemein: log_ab = log₁₀b / log₁₀a

im Beispiel: log₃9 = log₁₀9 / log₁₀3 = 0,954242509 / 0,477121255 = 2.

Den Wert für log₁₀9 (Logarithmus von 9 zur Basis 10) = 0,954242509 erhält man, indem man auf dem Taschenrechner 9 und anschließend die LOG-Taste drückt; analog für log₁₀3 = 0,477121255 die 3 und die LOG-Taste.

Mit dem Logarithmus kann zum Beispiel berechnet werden, nach wie vielen Jahren sich das Kapital bei einem Zinssatz von beispielsweise 4 % und Zinseszinsen verdoppelt.

Alternative Begriffe: logarithmische Funktion, Logarithmusfunktion.