Höhere Ableitungen
Höhere Ableitungen Definition
Höhere Ableitungen sind die zweite Ableitung, dritte Ableitung, vierte Ableitung und so weiter; sie werden seltener gebraucht als die 1. Ableitung, aber beispielsweise bei der Kurvendiskussion für die Bestimmung von Maxima und Minima, Wendepunkten und Sattelpunkten.
Im folgenden soll kurz der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren verschiedenen Ableitungen gezeigt werden.
Beispiel
Beispiel: Höhere Ableitungen
Die Funktion sei f(x) = x3.
Dabei sei x die Seitenlänge eines Würfels, dann gibt die Funktion das Volumen des Würfels an, zum Beispiel bei 2 cm Seitenlänge: f(2) = 23 = 8,000 (Kubikzentimeter).
1. Ableitung: Änderungsrate
Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f'(x) = 3x2.
Das ist die Änderungsrate (Wachstumsrate des Würfelvolumens); an der Stelle 2: f'(2) = 3 × 22 = 3 × 4 = 12.
Dass das stimmt, kann man sehen, wenn man x marginal um zum Beispiel 0,001 cm (also ein Tausendstel cm) erhöht. f(2,001) = 2,0013 = 8,012. Das heißt, eine Änderung von x um 0,001 bewirkt eine Erhöhung des Funktionswerts um den Faktor 12 dieser Änderung (12 × 0,001 = 0,012).
2. Ableitung: Änderungsrate der Änderungsrate
Die 2. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f''(x) = 6x.
Das ist die Änderungsrate der Änderungsrate (des Volumenwachstums).
Die 2. Ableitung an der Stelle x = 2 ist zum Beispiel f''(2) = 6 × 2 = 12.
Auch das lässt sich überprüfen:
Die 1. Ableitung an der Stelle 2 war f'(2) = 12.
Die 1. Ableitung bei einer marginalen Erhöhung um 0,001 ist f'(2,001) = 3 × 2,0012 = 12,012.
Das heißt, eine Erhöhung um 0,001 bewirkt eine 12-fache Erhöhung um 0,012 bei dem Wert der 1. Ableitung (dass hier an der Stelle x = 2 sowohl bei der 1. als auch bei der 2. Ableitung der Wert 12 herauskommt, ist Zufall).
3. Ableitung
Die 3. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f'''(x) = 6.
Mit der 3. Ableitung kann für einen Wendepunkt einer Funktion bestimmt werden, ob es sich um einen Rechts-Links-Wendepunkt (3. Ableitung im Wendepunkt > 0) oder um einen Links-Rechts-Wendepunkt handelt (3. Ableitung im Wendepunkt < 0).
4. Ableitung
Die 4. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f’'''(x) = 0.
Vierte und noch höhere Ableitungen braucht man wirklich selten (etwa für Taylorpolynome).
Allgemeines Vorgehen
Es wird also für die 2. Ableitung die 1. Ableitung abgeleitet, für die 3. Ableitung dann die 2. Ableitung und so weiter.