Kettenregel
Kettenregel Definition
Mit der Kettenregel lassen sich verkettete Funktionen ableiten; das sind Funktionen von Funktionen, das heißt: mit x wird etwas gemacht (Funktion) und mit dem Ergebnis wird wieder etwas gemacht (eine andere Funktion).
Die eine Funktion wird als innere Funktion, die andere Funktion als äußere Funktion bezeichnet.
Um die Ableitung der verketteten Funktion zu erhalten, muss man die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multiplizieren.
Formel
Die Kettenregel allgemein als Formel (mit f als äußere, g als innere und y als verkettete Funktion):
$$y = f(g(x)) \to y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
Beispiel
Beispiel: Kettenregel anwenden
Die verkettete Funktion sei f(x) = (x + 1)2.
Dahinter stecken 2 Funktionen (Berechnungen): die innere Funktion ist (x + 1), zählt also einfach 1 zu x dazu; die äußere Funktion ist x2, quadriert also x (wobei x für die innere Funktion, also x + 1 steht).
Die 1. Ableitung der verketteten Funktion entsteht in 3 Schritten:
Äußere Ableitung
Die äußere Funktion (also x2) wird abgeleitet, das ergibt 2x.
Innere Funktion einsetzen
Dann wird die innere Funktion (x + 1) für das x oben eingesetzt, also 2 × (x + 1).
Innere Ableitung / Nachdifferenzieren
Zuletzt wird das Ganze mit der 1. Ableitung der inneren Funktion multipliziert (sogenanntes Nachdifferenzieren):
(x + 1) ist abgeleitet 1, also 2 × (x + 1) × 1 = 2x + 2.
Kettenregel mehrfach anwenden
Es können auch 3 oder mehr Funktionen verkettet sein, dann muss die Kettenregel mehrfach angewendet werden.