Definition
Konvergenz beschreibt, wie sich eine Folge verhält, wenn ihr Index immer weiter erhöht wird.
Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat.
Beispiel
Erhöht man für die Zahlenfolge $a_n = \frac{1}{n} + 2$ den Index n immer weiter, zum Beispiel zunächst auf 100, wird der erste Teil des Terms 1/n immer weniger wert (1/100); bei einem Index von 10.000 ist $a_{10.000}$ gleich $\frac{1}{10.000} + 2$, das hießt, nur wenig mehr als 2.
Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2.
Mathematisch (mit lim für limes, lateinisch für den Grenzwert der Folge):
$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{1}{n} + 2) = 2$$
Eine konvergente Folge ist auch immer beschränkt.
Nullfolge
Konvergiert eine Folge gegen 0, nennt man diese Nullfolge.
Beispiel
Die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ konvergiert gegen den Grenzwert 0, sie ist eine Nullfolge.
Sie ist auch (nach oben) beschränkt, da $a_n \leq 1$ ist für alle n aus den natürlichen Zahlen (für n = 1 gleich 1, sonst darunter, beispielsweise $a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{3}$ usw.).
Gegenstück: divergente Folge
Die Folge $a_n = 2 + \frac{n}{2}$ hingegen wäre ein Beispiel für eine Folge, die nicht gegen einen Grenzwert konvergiert, sondern divergiert (für zunehmende n wird $a_n$ immer größer, ein Grenzwert ist nicht in Sicht).
Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen
Hat man zwei konvergente Folgen mit entsprechend zwei Grenzwerten, gilt:
- der Grenzwert der Summe der beiden Folgen ist gleich der Summe der Grenzwerte;
- der Grenzwert der Differenz der beiden Folgen ist gleich der Differenz der Grenzwerte;
- der Grenzwert des Produktes der beiden Folgen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte;
- der Grenzwert des Quotienten der beiden Folgen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte.
Beispiele
Eine Folge sei wie oben $a_n = \frac{1}{n} + 2$ mit dem Grenzwert 2; eine andere Folge sei $b_n = \frac{1}{n} + 1$ mit dem Grenzwert 1.
Dann ist der Grenzwert der Summe der beiden Folgen $a_n + b_n = \frac{1}{n} + 2 + \frac{1}{n} + 1$ gleich der Summe der Grenzwerte: 2 + 1 = 3.
Der Grenzwert des Produktes der beiden Folgen $a_n \cdot b_n = (\frac{1}{n} + 2) \cdot (\frac{1}{n} + 1)$ ist gleich dem Produkte der Grenzwerte: $2 \cdot 1 = 2$.