Ortskurve
Ortskurve Definition
Hat man eine Funktionenschar (die Funktionsvorschrift hat nicht nur wie üblich eine Variable x, sondern auch noch einen Parameter k; daraus ergeben sich mehrere Funktionen) und möchte man dafür einen Graphen bestimmen, auf dem zum Beispiel alle Tiefpunkte (Minima) der Funktionenschar liegen, ist das eine sogenannte Ortskurve.
Weitere Ortskurven enthalten zum Beispiel alle Hochpunkte (Maxima) oder alle Wendepunkte der Funktionenschar.
Beispiel
Beispiel Ortskurve
Die Funktionsvorschrift für die Funktionenschar sei $f_k(x) = x^2 - 2kx$ und der Parameter k soll hier nur die Werte 1 und 2 annehmen dürfen (sein Definitionsbereich).
Dann wäre die Funktion für k = 1: $f_1(x) = x^2 - 2x$ und das Minimum dieser Funktion liegt bei x = 1 und y = -1.
Für k = 2 analog: $f_2(x) = x^2 - 4x$ und das Minimum dieser Funktion liegt bei x = 2 und y = -4.
Um die Ortskurve zu bestimmen – die Kurve, auf dem die beiden Punkte (1, -1) und (2, -4) – liegen, wird zunächst die erste Ableitung gebildet und gleich 0 gesetzt:
f'(x) = 2x - 2k = 0; daraus folgt 2x = 2k und daraus x = k.
Da die zweite Ableitung f''(x) = 2 unabhängig von x immer positiv ist, liegen Minima vor.
Nun drückt man den Funktionswert y in Abhängigkeit von k aus, indem man x = k in die Funktionsvorschrift einsetzt: $y = k^2 - 2k \cdot k = k^2 - 2k^2 = - k^2$
Und mit x = k folgt:
$y = -x^2$
Das ist die Ortskurve. Kontrolle:
$y (1) = -1^2 = - 1$
$y (2) = -2^2 = - 4$