Funktion
Funktion Definition
Eine Funktion ist eine Abbildungsvorschrift.
So ordnet zum Beispiel die Funktion f (x) = x2 einem x-Wert von 2 eindeutig einen Funktionswert von f(2) = 22 = 4 zu; einem x-Wert von 3 einen Funktionswert von f(3) = 32 = 9 und so weiter.
Alternative Begriffe: Abbildung, Funktionsvorschrift, mathematische Funktion.
Definitionsbereich
Ein Funktion hat in der Regel einen Definitionsbereich (auch: Definitionsmenge) D(f), der angibt, welche x-Werte zulässig sind. Dieser kann
- einen mathematischen Hintergrund haben (zum Beispiel darf man nicht durch Null teilen und der maximale Definitionsbereich einer Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ würde die Null nicht enthalten: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$; in Worten: der Definitionsbereich umfasst die reellen Zahlen ohne die 0; oder
- einen praktischen Hintergrund (zum Beispiel eine Schreinerei, die nur quadratische Holzplatten mit den Kantenlängen 1, 2 oder 3 Meter (und nichts dazwischen oder darüber hinaus) herstellen kann; der Definitionsbereich für die Funktion f (x) = x2 würde dann die positiven ganzen Zahlen 1, 2 und 3 umfassen; D(f) = {1, 2, 3}).
Wertebereich
Der Wertebereich (auch: Wertemenge) der Funktion gibt dann an, welche Werte die Funktion für den Definitionsbereich annehmen kann.
Beispiel
In den meisten Fällen ist die Wertemenge umfassend definiert, zum Beispiel die Menge der Reellen Zahlen $\mathbb{R}$; das heißt alle möglichen Funktionswerte (Ergebnisse der Funktion) liegen im Bereich der reellen Zahlen und nicht zum Beispiel der komplexen Zahlen.
Beschränkt man den Definitionsbereich, beispielsweise für die Funktion f (x) = x2 auf die Zahlen 1, 2 und 3, sind als Ergebnisse nur 1, 4 und 9 möglich. Diese bezeichnet man als Bildbereich oder Bild der Funktion.
Eine Funktion kann durch eine Funktionsgleichung wie oben mit f (x) = x2 (dabei ist x2 der Funktionsterm), durch eine Abbildungsvorschrift $x \longrightarrow f(x)$ (im Beispiel: $x \longrightarrow x^2$), durch eine Wertetabelle oder mit einem Funktionsgraphen beschrieben werden.
Funktionen haben zwar meistens mit Zahlen zu tun, das muss aber nicht sein; wichtig ist nur die eindeutige Zuordnung: einem Element der Definitionsmenge wird genau ein Element der Wertemenge zugeordnet. Weist man den Namen Anna, Bert und Carla ihre jeweilige Körpergröße in cm zu, ist auch das eine Funktion bzw. Abbildung. Dann fallen allerdings Funktionsgleichung, Funktionsgraph und Abbildungsvorschrift als Darstellungsform weg, es bleibt die Wertetabelle.
Umgekehrt muss die eindeutige Zuordnung nicht gelten: Anna und Bert könnten zum Beispiel dieselbe Körpergröße haben, so dass man nicht eindeutig von der Körpergröße auf den Namen schließen kann.
Reelle Funktionen
Sind die Definitions- und die Wertemenge einer Funktion Teilmengen der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, nennt man die Funktion reelle Funktion.