Definition
Verkettung von Funktionen bedeutet, dass man Funktionen hintereinander ausführt.
Alternative Begriffe: Komposition von Funktionen, Verketten von Funktionen, Verknüpfen von Funktionen, Verknüpfung von Funktionen.
Beispiel
Beispiel: Funktionen verketten
Es gibt 2 Funktionen:
g(x) = x2 (Die Funktion quadriert x)
h(x) = x + 2 (Die Funktion nimmt x und zählt 2 dazu)
Diese beiden Funktionen könnten so verknüpft werden:
f(x) = g(h(x)), man schreibt auch $f = g \circ h$.
f(x) = g(x + 2) = (x + 2)2
Setzt man zum Beispiel x = 3 und rechnet h(3) aus, ergibt sich h(3) = 3 + 2 = 5.
Setzt man diesen Wert in g(x) ein, erhält man g(5) = 52 = 25.
Und das gibt auch die verkettete Funktion wieder: f(3) = (3 + 2)2 = 52 = 25.
Reihenfolge von Bedeutung
Man könnte die beiden Funktionen auch in anderer Reihenfolge verknüpfen: f(x) = h(g(x)) bzw. $f = h \circ g$; das gibt mit x2 + 2 ein anderes Ergebnis, die Reihenfolge der Verkettung ist also wichtig.
Fazit
- Verkettung (Komposition) bedeutet: Ausgabe der inneren Funktion wird Eingabe der äußeren – f(x) = g(h(x)), geschrieben als g ∘ h
- Auswertung: zunächst innere Funktion h(x) berechnen, Ergebnis in äußere Funktion g einsetzen
- Die Reihenfolge ist entscheidend: g(h(x)) liefert im Allgemeinen ein anderes Ergebnis als h(g(x))
- Anwendung: Kettenregel beim Ableiten verketteter Funktionen; Zusammensetzung komplexer Modelle aus einfachen Bausteinen
Selbsttest: Verkettung von Funktionen
Aufgabe: Verkettung von Funktionen
Gegeben: g(x) = 3x − 1 und h(x) = x2.
(a) Bestimmen Sie f(x) = g(h(x)) und berechnen Sie f(4).
(b) Bestimmen Sie p(x) = h(g(x)) und berechnen Sie p(4).
(a) f(x) = g(h(x)) = g(x2) = 3x2 − 1
f(4) = 3 · 16 − 1 = 48 − 1 = 47
(b) p(x) = h(g(x)) = h(3x − 1) = (3x − 1)2
p(4) = (3 · 4 − 1)2 = 112 = 121
Ergebnis: f(4) = 47 ≠ p(4) = 121 – die Reihenfolge ist entscheidend.