Grenzwert eines Quotienten

Grenzwert eines Quotienten Definition

Der Grenzwert eines Quotienten von zwei Termen entspricht dem Quotienten der Grenzwerte der beiden Terme (dabei wird vorausgesetzt, dass diese Grenzwerte existieren).

Beispiel

Es soll folgender Grenzwert berechnet werden:

$$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2}{(x - 1)}$$

Der Quotient, für den der Grenzwert berechnet werden soll, ist also $\frac{x^2}{(x - 1)}$.

Der Grenzwert für den Term x2 im Zähler des Bruchs für x gegen 3 ist 9 (einfach x durch den Wert, gegen den x laufen soll, ersetzen):

$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$

Der Grenzwert für den Term (x - 1) im Nenner des Bruchs für x gegen 3 ist 2.

$$\lim\limits_{x \to 3} x - 1 = 2$$

Der Grenzwert für den Quotienten ist deshalb 9/2 = 4,5.

(In dem Beispiel hätte man auch direkt 3 für x in den Quotienten einsetzen können, die Grenzwertregel für Quotienten wäre hier nicht notwendig. Sie hilft aber oft bei x gegen plus / minus unendlich.)