Intervallschachtelung

Beispiel: Intervallschachtelung Wurzel

Aufgabe

Wurzel von 5 ($\sqrt{5}$) näherungsweise bestimmen (laut Taschenrechner: 2,236067978).

Lösungsschritte

Schritt 1

Nun sucht man zunächst Wurzeln ober- und unterhalb, die ganze Zahlen ergeben:

$\sqrt{4}$ ist 2.

$\sqrt{9}$ ist 3.

$\sqrt{5}$ liegt somit im Intervall [2; 3].

Schritt 2

Als nächstes kann man von der unteren Intervallgrenze in Zehntelschritten vorgehen:

2,1² = 4,41 (kleiner als 5).

2,2² = 4,84 (immer noch kleiner als 5).

2,3² = 5,29 (größer als 5).

Wurzel 5 liegt somit im (engeren) Intervall [2,2; 2,3].

Schritt 3

Weiter in Hundertstelschritten von der unteren Intervallgrenze:

2,21² = 4,8841 (kleiner als 5).

2,22² = 4,9284 (immer noch kleiner als 5).

2,23² = 4,9729 (immer noch kleiner als 5).

2,24² = 5,0176 (größer als 5).

Wurzel 5 liegt somit im (engen) Intervall [2,23; 2,24]. Wir könnten mit dem Mittelwert des Intervalls 2,235 arbeiten und wären schon ziemlich nah dran am richtigen Ergebnis laut Taschenrechner.

Oder man macht in dem Stil weiter (in Tausendstelschritten) für eine höhere Genauigkeit.

Anmerkung: Wir sind in Schritt 2 einfach von der unteren Intervallgrenze vorangegangen. Das ist hier auch sinnvoll, da die 4 in der Wurzel aus Schritt 1 näher an der 5 ist als die 9 in der Wurzel aus Schritt 1.

Hätte man statt Wurzel 5 die Wurzel 8 berechnen wollen, wäre man besser von der oberen Intervallgrenze ausgegangen, da die 9 näher an der 8 liegt als die 4.

Analog bei den weiteren Schritten. Sich hier jeweils an der Nähe zu orientieren, spart einige Rechenschritte.

Alternativen

Es gib auch andere Möglichkeiten: zum Beispiel kann man statt Zehntel-, Hundertstel-, Tausendstel-Schritten das Intervall jeweils halbieren.