Definition
Der Zwischenwertsatz gilt für (in einem abgeschlossenen Intervall) stetige Funktionen und besagt: alle Zwischenwerte zwischen dem Funktionswert der unteren Intervallgrenze und dem Funktionswert der oberen Intervallgrenze werden von der stetigen Funktion angenommen.
Beispiel
Beispiel Zwischenwertsatz
Die stetige Funktion sei $f(x) = 2 \cdot x$. Das abgeschlossene Intervall sei [-2, 2].
Dann nimmt die Funktion f(x) alle Funktionswerte zwischen $f(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$ und $f(2) = 2 \cdot 2 = 4$ an.
Im Beispiel ist der Funktionswert der unteren Intervallgrenze mit - 4 < 0 und der Funktionswert der oberen Intervallgrenze ist mit 4 > 0. Da alle Funktionswerte dazwischen angenommen werden, gilt das auch für den Funktionswert f(x) = 0.
D. h., die Funktion hat auf jeden Fall (mindestens) eine Nullstelle (diese liegt hier bei x = 0, wie man leicht sieht). Dies nennt man auch Nullstellensatz.
Fazit
- Ist f stetig auf [a, b], so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an – d. h. es existiert ein x0 ∈ [a, b] mit f(x0) = y
- Sonderfall Nullstellensatz: haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, hat f mindestens eine Nullstelle im Intervall (a, b)
- Voraussetzung: f muss auf dem gesamten Intervall stetig sein – bei unstetigen Funktionen gilt der Satz nicht zwingend
- Beispiel: f(x) = 2x auf [−2, 2]: f(−2) = −4 und f(2) = 4 → alle Werte dazwischen werden angenommen, auch f(x) = 0
Selbsttest: Zwischenwertsatz
Aufgabe: Zwischenwertsatz
Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion f(x) = x3 − 2 auf dem Intervall [1, 2] mindestens eine Nullstelle besitzt.
Stetigkeit: f(x) = x3 − 2 ist als Polynom stetig auf [1, 2] – Voraussetzung erfüllt.
Randwerte berechnen:
f(1) = 13 − 2 = −1 < 0
f(2) = 23 − 2 = 8 − 2 = 6 > 0
Schluss: Da f(1) < 0 und f(2) > 0, haben die Randwerte verschiedene Vorzeichen.
Nach dem Nullstellensatz (Sonderfall des Zwischenwertsatzes) nimmt f alle Werte zwischen −1 und 6 an – darunter auch den Wert 0.
Ergebnis: f hat mindestens eine Nullstelle im offenen Intervall (1, 2). ✓