Zwischenwertsatz

Zwischenwertsatz Definition

Der Zwischenwertsatz gilt für (in einem abgeschlossenen Intervall) stetige Funktionen und besagt: alle Zwischenwerte zwischen dem Funktionswert der unteren Intervallgrenze und dem Funktionswert der oberen Intervallgrenze werden von einer stetigen Funktion angenommen.

Beispiel

Die stetige Funktion sei $f(x) = 2 \cdot x$. Das abgeschlossene Intervall sei [-2, 2].

Dann nimmt die Funktion f(x) alle Funktionswerte zwischen $f(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$ und $f(2) = 2 \cdot 2 = 4$ an.

Im Beispiel ist der Funktionswert der unteren Intervallgrenze mit - 4 < 0 und der Funktionswert der oberen Intervallgrenze ist mit 4 > 0. Da alle Funktionswerte dazwischen angenommen werden, gilt das auch für den Funktionswert f(x) = 0. D.h., die Funktion hat auf jeden Fall (mindestens) eine Nullstelle (diese liegt hier bei x = 0, wie man leicht sieht). Dies nennt man auch Nullstellensatz.