Symmetrische Matrix

Beispiele

Beispiel 1

Eine 3 x 3 - Symmetrische Matrix (mit 3 Zeilen und 3 Spalten) sei:

$$A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 \\ 2 & \color{red}{4} & 5 \\ 3 & 5 & \color{red}{6} \end{pmatrix}$$

Diese Matrix ist quadratisch (sie hat 3 Zeilen und 3 Spalten).

Ihre Elemente sind spiegelbildlich zu der Hauptdiagonalen der Matrix (hier mit den markierten Zahlen 1, 4 und 6), die man sich am besten als diagonale Linie vorstellt:

Die

• 2 in Zeile 2 und Spalte 1 spiegelt sich an der Hauptdiagonalen auf die 2 in Zeile 1 und Spalte 2,
• die 3 in Zeile 3 und Spalte 1 auf die 3 in Zeile 1 und Spalte 3 und
• die 5 in Zeile 3 und Spalte 2 auf die 5 in Zeile 2 und Spalte 3.

Transponiert man die (symmetrische) Matrix, erhält man eine identische Matrix.

Zur Erinnerung: eine transponierte Matrix entsteht aus einer gegebenen Matrix, indem die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix usw.

Die erste Spalte hat hier die Einträge 1, 2 und 3 und diese werden in der transponierten Matrix die erste Zeile; die zweite Spalte hat hier die Einträge 2, 4 und 5 und diese werden in der transponierten Matrix die zweite Zeile; die dritte Spalte hat hier die Einträge 3, 5 und 6 und diese werden in der transponierten Matrix die dritte Zeile.

Das ergibt wieder dieselbe Matrix wie die Ausgangsmatrix.

Beispiel 2

Das wäre eine 2 × 2 symmetrische Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$