Definition
Eine quadratische Matrix A ist idempotent, wenn A2 = A (wenn also die Matrix A im Quadrat gleich der Matrix A ist.)
Beispiel
Die quadratische Matrix A
$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
ist idempotent, denn das Quadrat der Matrix A ist wieder die Matrix A:
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
Daraus ergibt sich mit Matrizenmultiplikation:
$$= \begin{pmatrix}2 \cdot 2 + 1 \cdot -2 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot -1 \\ -2 \cdot 2 + -1 \cdot -2 & -2 \cdot 1 + -1 \cdot -1 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
Eine weitere Potenzierung einer idempotenten Matrix (zum Beipiel kubische Potenz A3) führt natürlich wieder zu demselben Ergebnis (der Ausgangsmatrix).
Fazit
- Eine idempotente Matrix erfüllt A2 = A – die Matrix ist ihre eigene Potenz.
- Wiederholtes Potenzieren liefert stets A: An = A für alle n ≥ 1.
- Sonderfälle: Nullmatrix (02 = 0) und Einheitsmatrix (E2 = E) sind idempotent.
Selbsttest: Idempotente Matrix
Aufgabe: Idempotenz nachweisen
Gegeben ist die Matrix B:
$$B = \begin{pmatrix}3 & -3 \\ 2 & -2\end{pmatrix}$$
Zeigen Sie durch Berechnung von B2, dass B idempotent ist.
Berechnung B2 = B · B:
$$B^2 = \begin{pmatrix}3 & -3 \\ 2 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3 & -3 \\ 2 & -2\end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}3\cdot 3+(-3)\cdot 2 & 3\cdot(-3)+(-3)\cdot(-2) \\ 2\cdot 3+(-2)\cdot 2 & 2\cdot(-3)+(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}9-6 & -9+6 \\ 6-4 & -6+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -3 \\ 2 & -2\end{pmatrix} = B \checkmark$$
Ergebnis: B2 = B – die Matrix B ist idempotent.