Definition
Ein Vektorraum wird in der Linearen Algebra mathematisch über 10 Axiome definiert. Nur wenn diese 10 Punkte alle erfüllt sind, liegt ein Vektorraum vor.
Hier stark vereinfacht, um eine Idee eines Vektorraums zu bekommen:
Ein Vektorraum umfasst Vektoren als Elemente. Diese können addiert werden oder mit einer beliebigen reellen Zahl (einem Skalar in der Vektorsprache) multipliziert werden und das Ergebnis (der daraus resultierende Vektor) ist dann ebenfalls ein Teil des Vektorraums (verlässt diesen also nicht).
Beispiele
Beispiele für Vektorräume
R2 ist die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen.
Hat man beispielsweise zwei Paare (1, 2) und (3, 1/2), kann man diese mit einem Skalar multiplizieren (zum Beispiel das erste mit 3 und das zweite mit $\frac{1}{2}$) und aufaddieren; in Vektorschreibweise:
$$3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1,5 \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 4,5 \\ 6,25 \end{pmatrix}$$
Das Ergebnis – das Paar (4,5, 6,25) – ist innerhalb des R2, R2 ist ein Vektorraum.
Nimmt man hingegen zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen (also 1, 2, 3, 4 und so weiter) und führt hier eine Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl durch, kann das Ergebnis außerhalb der natürlichen Zahlen liegen:
$$\frac{3}{4} \cdot 2 = 1,5$$
Das Ergebnis 1,5 ist kein Teil der natürlichen Zahlen; deshalb liegt hier kein Vektorraum vor.
Fazit
- Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist: das Ergebnis liegt stets wieder im Raum.
- R2 (alle reellen Zahlenpaare) ist ein Vektorraum; die Menge der natürlichen Zahlen hingegen nicht, da Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen den Raum verlassen kann.
- Formal ist ein Vektorraum über 10 Axiome definiert (z. B. Kommutativität, Assoziativität, Existenz eines Nullvektors).
- In der Linearen Algebra bilden Vektoren eines Vektorraums die Grundlage für Konzepte wie lineare Abhängigkeit und Basis.
Selbsttest: Vektorraum
Aufgabe: Vektorkombination in R² berechnen
Gegeben sind die Vektoren a = (1, −2) und b = (3, 1) aus R2 sowie die Skalare k1 = 2 und k2 = 3.
a) Berechnen Sie c = k1 · a + k2 · b.
b) Zeigen Sie, dass c ∈ R2 gilt (R2 ist abgeschlossen).
a) Berechnung:
$$c = 2 \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11\\-1\end{pmatrix}$$
b) Abgeschlossenheit:
c = (11, −1): beide Komponenten sind reelle Zahlen ⇒ c ∈ R2 ✓
Das Ergebnis verlässt R2 nicht; R2 ist damit unter diesen Operationen abgeschlossen.