Definition
Eine Aussage kann gegebenenfalls auch über eine Kontraposition bewiesen werden.
Der Beweis läuft dann über den Umkehrschluss:
Die Aussage sei "Wenn man gehüpft ist, hat man den Boden verlassen."
Die dazugehörige Kontraposition ist: "Wenn man den Boden nicht verlassen hat, ist man nicht gehüpft.".
Etwas mathematischer:
Wenn man „Wurde gehüpft“ mit A bezeichnet und „Hat Boden verlassen“ mit B, so will man eigentlich zeigen:
$A \Rightarrow B$ (aus A folgt B).
Stattdessen zeigt man aber den Umkehrschluss:
$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (Aus „Nicht B“ folgt „Nicht A“)
Die beiden Aussagen $A \Rightarrow B$ und $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ sind äquivalent, deshalb kann man eine an Stelle der anderen verwenden.
Der Beweis durch Kontraposition kann sinnvoll sein, wenn man das eine schwer nachweisen kann, das andere einfacher.
Beispiel
Beispiel: Beweis durch Kontraposition
Angenommen, es soll die Aussage bewiesen werden: "Ist das Produkt a × b aus zwei natürlichen Zahlen a und b nicht durch 3 teilbar, sind a und b nicht durch 3 teilbar.".
Die Kontraposition dazu ist: "Wenn a oder b durch 3 teilbar ist, ist a × b durch 3 teilbar.".
Wenn man diese Kontraposition beweisen kann, ist damit die ursprüngliche Aussage bewiesen.
Beweis für die Kontraposition-Aussage: Wenn zum Beispiel a durch 3 teilbar ist, gibt es eine natürliche Zahl c, für die gilt: a = 3 × c. Daraus folgt: a × b = 3 × c × b. Das ist auf jeden Fall durch 3 teilbar (der Faktor 3 fällt dann weg und es bleibt c × b übrig).
Analog für b: Wenn b durch 3 teilbar ist, gibt es eine natürliche Zahl c, für die gilt: b = 3 × c. Daraus folgt: a × b = a × 3 × c. Auch das ist auf jeden Fall durch 3 teilbar.
Es reicht also aus, dass a oder b durch 3 teilbar ist, damit das Produkt aus a und b durch 3 teilbar ist.
Die Kontraposition konnte also gezeigt werden, und damit wurde die ursprüngliche Aussage indirekt bewiesen.
Fazit
- Die Kontraposition nutzt die logische Äquivalenz: $A \Rightarrow B$ ist gleichwertig mit $\lnot B \Rightarrow \lnot A$
- Statt die direkte Aussage zu beweisen, zeigt man ihren Umkehrschluss — oft einfacher
- Gilt $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (Kontraposition), ist damit automatisch auch $A \Rightarrow B$ bewiesen
Selbsttest: Kontraposition
Aufgabe: Kontraposition
Beweisen Sie mithilfe der Kontraposition: Ist $n^2$ gerade, so ist auch $n$ gerade ($n \in \mathbb{Z}$).
Zu zeigen: $n^2$ gerade $\Rightarrow$ $n$ gerade
Kontraposition: $n$ ungerade $\Rightarrow$ $n^2$ ungerade
Beweis der Kontraposition:
Sei $n$ ungerade, d. h. $n = 2k + 1$ für ein $k \in \mathbb{Z}$.
$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$
Mit $m = 2k^2 + 2k \in \mathbb{Z}$ gilt: $n^2 = 2m + 1$ — das ist ungerade. ✓
Da die Kontraposition bewiesen ist, gilt: Ist $n^2$ gerade, so ist $n$ gerade. ✓
Probe: $n = 4$ (gerade): $n^2 = 16$ (gerade) ✓ $n = 3$ (ungerade): $n^2 = 9$ (ungerade) ✓