Nullstellen

Nullstellen Definition

Nullstellen einer Funktion sind in die Funktion eingesetzte Werte, die einen Funktionswert von 0 ergeben, das heißt f (x) = 0.

Es kann eine, mehrere oder auch keine Nullstelle geben.

Beispiel

Die Funktion f (x) = 2x - 2 hat eine Nullstelle bei x = 1, denn 2 × 1 - 2 = 2 - 2 = 0.

Grafisch: die Funktion schneidet die x-Achse.

Ökonomisch werden Nullstellen zum Beispiel bei der Break-Even-Analyse berechnet, um zu sehen, bei welcher Absatzmenge die Gewinnschwelle erreicht wird.

Alternative Begriffe: Nullstellen-Berechnung, Nullstellenberechnung.

Beispiel

Beispiel: Nullstelle einer linearen Funktion

Der Verkaufspreis pro Stück ist 2 €, die variablen Kosten pro Stück sind 1 € und die Fixkosten betragen 150 €.

Wann wird die Gewinnschwelle erreicht? (ein Gewinn von 0 €, kein Verlust mehr).

Mit x für Absatzmenge lautet die Gewinnfunktion f (x):

f (x) = 2x - 1x - 150

Nullstellen berechnen:

f (x) = 2x - 1x - 150 = 0

x - 150 = 0

x = 150

Bei einer Absatzmenge x gleich 150 Stück ist der Break-Even erreicht: 150 × 2 € - 150 × 1 € - 150 € = 0 €.

Anzahl der Nullstellen

Eine Funktion hat maximal nur so viele Nullstellen, wie ihr Grad ist:

Eine lineare Funktion (enthält ein x1 bzw. x) wie im Beispiel oben ist vom Grad 1 und hat deshalb maximal 1 Nullstelle.

Eine quadratische Funktion (enthält ein x2) ist vom Grad 2 und hat deshalb maximal 2 Nullstellen.

Eine kubische Funktion (enthält ein x3) ist vom Grad 3 und hat deshalb maximal 3 Nullstellen (und mindestens eine Nullstelle).

Eine Funktion 4. Grades (enthält ein x4) hat maximal 4 Nullstellen.

Die Vielfachheit von Nullstellen gibt an, wie oft ein und dieselbe Nullstelle bei einer Funktion auftritt, zum Beispiel eine doppelte Nullstelle oder eine dreifache Nullstelle.