Dreifache Nullstelle

Beispiel

Dreifache Nullstellen erkennt man am besten in der Linearfaktordarstellung bzw. Produktform einer Funktion.

Die Funktion $(x - 1)^3$ kann man auch so mit Linearfaktoren schreiben:

$(x - 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 1)$

Sie hat eine dreifache Nullstelle bei x = 1. Diese setzt den ersten Term (x - 1) gleich 0, den zweiten Term (x - 1) und den dritten Term (x - 1) ebenfalls.

Hat eine Funktion eine dreifache Nullstelle, überquert ihr Funktionsgraph die waagrechte x-Achse (das tut der Funktionsgraph allerdings auch bei einer einfachen Nullstelle).

Bedeutung

Sehen wir uns die obige Funktion als Graph an und erkennen daran Eigenschaften und Folgen einer dreifachen Nullstelle:

Sattel- bzw. Terrassenpunkt

Hat eine Funktion eine dreifache Nullstelle, hat sie dort einen Sattel- bzw. Terrassenpunkt.

Das ist ein Wendepunkt (ein Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten ändert) mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Steigung der Funktion (und somit die 1. Ableitung) an dem Wendepunkt 0 ist.

Vorzeichenwechsel

Der Graph wechselt hier an der (dreifachen) Nullstelle von negativen Funktionswerten zu positiven Funktionswerten (oder umgekehrt bei anderen Funktionen: von positiven Funktionswerten zu negativen Funktionswerten).

Ableitungen

Wenn ein x (hier: x = 1) eine dreifache Nullstelle von f(x) ist, ist sie auch Nullstelle der 1. Ableitung f'(x) und der 2. Ableitung f''(x):

Die 1. Ableitung von $f(x) = (x - 1)^3$ ist:

$f'(x) = 3 \cdot (x - 1)^2$

An der Stelle x = 1 (dreifache Nullstelle):

$f'(1) = 3 \cdot (1 - 1)^2 = 0$

Die 2. Ableitung ist:

$f''(x) = 6 \cdot (x - 1)$

An der Stelle x = 1 (dreifache Nullstelle):

$f''(1) = 6 \cdot (1 - 1)^2 = 0$

Die 3. Ableitung ist:

$f'''(x) = 6$

An der Stelle x = 1 (dreifache Nullstelle):

$f'''(1) = 6$

Die 3. Ableitung ist bei dreifachen Nullstellen immer ungleich 0.