Definition
Eine Kurvendiskussion ist eine Funktionsuntersuchung: die Eigenschaften einer Funktion bzw. ihre grafische Abbildung (die "Kurve") werden analysiert.
Man möchte unter anderem wissen, wo das Maximum oder Minimum einer Funktion liegt; in welchen Bereichen eine Funktion monoton steigt; ob sie symmetrisch ist und so weiter.
Damit kann man eine Funktion bzw. ihre wichtigsten Stellen beschreiben und könnte als Ergebnis eine Art Dossier über die Funktion verfassen; manchmal interessiert man sich aber auch nur für einzelne Aspekte (etwa das Minimum einer Kostenfunktion) und führt nicht alle Schritte einer Kurvendiskussion durch.
Alternative Begriffe: Funktionsdiskussion, Kurvenuntersuchung.
Kurvendiskussion Übersicht
Zu einer Kurvendiskussion gehören beispielsweise folgende Schritte:
- Symmetrie Achsen- oder Punktsymmetrie prüfen: f(−x) = f(x) für gerade, f(−x) = −f(x) für ungerade Funktionen
- Nullstellen x-Werte, an denen f(x) = 0 gilt; die Kurve schneidet oder berührt dort die x-Achse
- Extremwerte Lokale Minima und Maxima: f′(x) = 0 setzen und Art über das Vorzeichen von f′′(x) bestimmen
- Krümmungsverhalten Vorzeichen von f′′(x): f′′ < 0 linksgekrümmt (konkav), f′′ > 0 rechtsgekrümmt (konvex)
- Wendepunkte Wechsel der Krümmungsrichtung: f′′(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f′′
- Sattelpunkte Wendepunkte mit horizontaler Tangente: zusätzlich f′(x) = 0
- Monotonieverhalten Steigende und fallende Bereiche: Vorzeichen von f′(x)
- Polstellen Stellen, an denen der Funktionswert gegen ±∞ strebt (typisch bei gebrochenrationalen Funktionen)
Fazit
- Die Kurvendiskussion liefert ein vollständiges Bild einer Funktion: Verlauf, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Monotoniebereiche und Symmetrie
- Grundlage ist die Differentialrechnung: f′(x) für Steigung und Extremwerte, f′′(x) für Krümmung und Wendepunkte
- In der BWL zentral bei der Analyse von Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen – z. B. zur Bestimmung des Kostenminimums oder Gewinnmaximums