Uneigentliches Integral

Uneigentliches Integral Definition

Bei einem uneigentlichen Integral sind

Integrationsgrenzen unendlich (zum Beispiel von 0 bis unendlich oder von minus unendlich bis 0 oder von minus unendlich bis unendlich) und / oder
die zugrunde liegende Funktion ist unbeschränkt und / oder
die Intervallgrenzen liegen nicht im Definitionsbereich (das heißt, die Funktion ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert).

Das uneigentliche Integral kann nur berechnet werden, wenn die Stammfunktion einen endlichen Grenzwert hat.

Uneigentliche Integrale sehen beispielsweise so aus:

$$\int_a^\infty f(x) dx$$

$$\int_{-\infty}^b f(x) dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$

Es soll folgendes uneigentliche Integral mit den Integrationsgrenzen 1 und unendlich berechnet werden:

$$\int_1^\infty f(x) dx = \int_1^\infty x^{-2} dx$$

Zunächst wird das „problematische“ unendlich durch eine Variable ersetzt (hier mit z bezeichnet):

$$\int_1^z x^{-2} dx$$

Als Ergebnis erhält man ein Integral, das von diesem z abhängt:

$$A(z) = \int_1^z x^{-2} dx$$

Wie üblich finden wir eine Stammfunktion dafür:

$$A(z) = \int_1^z x^{-2} dx = \left[-x^{-1} \right]_1^z = \left[- \frac{1}{x} \right]_1^z$$

-x^-1 ist eine Stammfunktion von x^-2, da diese abgeleitet x^-2 ergibt. Und -x^-1 kann man auch als Bruch - (1/x) schreiben.

Das Integral mit der Stammfunktion berechnet:

$$\left[-x^{-1} \right]_1^z = - \frac{1}{z} - (- \frac{1}{1}) = - \frac{1}{z} + 1 = 1 - \frac{1}{z}$$

In einem letzten Schritt bilden wir den Grenzwert für z gegen unendlich:

$$\lim\limits_{z\to\infty} (1 - \frac{1}{z}) = 1$$

Für z gegen unendlich geht der Term gegen den Grenzwert 1.

Das uneigentliche Integral bzw. die Fläche unter der Funktion zwischen 1 und unendlich ist also 1.