Unbestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral Beispiel

Hat man beispielsweise eine Funktion f(x) = x² und berechnet die 1. Ableitung dieser Potenzfunktion mit f'(x) = 2x, nennt man das differenzieren.

Integrieren geht in die umgekehrte Richtung: man hat die 1. Ableitung f'(x) = 2x gegeben und möchte nun mittels Integration herausfinden, was die ursprüngliche Funktion war.

Es gibt jedoch mehrere Lösungen, da mehrere Funktionen die gleiche Ableitungsfunktion haben: auch f(x) = x² + 3 ergäbe abgeleitet 2x (Ableitung der Potenzfunktion x² und der Konstanten 3), ebenso f(x) = x² + 5 und so weiter; diese nennt man Stammfunktionen und das unbestimmte Integral der Funktion f(x) ist die Menge aller Stammfunktionen der Funktion f(x):

$$F(x) = x^2 + C$$

Im Beispiel ist zwar das x² bestimmt (in jeder Stammfunktion von 2x vorhanden), allerdings ist der gesamte Term wegen der Konstanten C unbestimmt.

Schreibweise unbestimmtes Integral

Schreibweise für unbestimmtes Integral:

$$\int f(x) dx$$

Gegenstück: bestimmtes Integral

Das Gegenstück ist das bestimmte Integral, das keine Menge (von Stammfunktionen), sondern eine Zahl ist und anders (mit den Integrationsgrenzen a und b) geschrieben wird:

$$\int_a^b f(x) dx$$

Zum Beispiel mit den Integrationsgrenzen 2 und 4:

$$\int_2^4 f(x) dx$$

Der Vollständigkeit halber sei dieses bestimmte Intervall hier berechnet:

$$\int_2^4 2x dx = \left[x^2 + C \right]_2^4$$

$$= (4^2 + C) - (2^2 + C)$$

$$= 16 + C - 4 - C= 12$$