Bestimmtes Integral

Bestimmtes Integral Definition

Das bestimmte Integral liefert im Gegensatz zu unbestimmten Integralen ein Ergebnis bzw. eine Lösung (deshalb bestimmt) und dient z.B. dazu, den Flächeninhalt unter Funktionen von Kurven zu bestimmen (genauer: die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse /Abszisse innerhalb der Integrationsgrenzen).

Man könnte sich hier z.B. das leicht durchhängende Stahlseil einer Seilbahn vorstellen und die Fläche zwischen dem Seil und der ebenen Erde berechnen ab der Talstation bis zur Bergstation (Tal- und Bergstation wären die Integrationsgrenzen) – wieviele Quadratmeter Folie oder Papier bräuchte man, um diese Fläche auszukleiden?

Ein ökonomische Anwendung wäre die Berechnung der Produzentenrente als Fläche zwischen der Angebotskurve und der waagrechten Linie des Gleichgewichtspreises.

Eigentlich benötigt man das Integral nur für die Bestimmung von Flächen unter "krummlinigen" Funktionen (da für die Flächenberechnung von Dreiecken etc. einfachere Methoden bzw. Formeln existieren).

Integral berechnen

Beispiel: (Bestimmtes) Integral berechnen

Die sehr einfache Funktion sei f(x) = x. Für x = 1 ist der Funktionswert f(1) = 1, für x = 2 ist der Funktionswert f(2) = 2 usw.; grafisch ist das eine aufsteigende Gerade im 45 - Grad-Winkel durch den Koordinatenursprung.

Es soll die Fläche zwischen dieser Geraden und der x-Achse im Bereich 0 bis 2 auf der x-Achse mit einem Integral berechnet werden (eine einfache Berechnung über Dreiecksflächen wäre hier sicher schneller: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2)$.

1. Schritt: Eine Stammfunktion bilden

Man sucht zunächst eine Stammfunktion F(x), d.h. eine Funktion, die abgeleitet die Funktion ergibt, z.B. $F(x) = \frac{1}{2} x^2$.

2. Schritt: Integral berechnen

$$\int_0^2 f(x) dx$$

$$= \left[\frac{1}{2} x^2 \right]_0^2$$

$$= \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

Die Fläche ist also 2 (Quadratzentimeter).