Stammfunktion
Stammfunktion Definition
Ausgangspunkt: man hat eine abgeleitete Funktion vor sich und sucht nun eine Funktion (Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion ergibt.
Dabei bezeichnet man die abgeleitete Funktion meist mit f(x) (was etwas verwirrend ist, da Ableitungen in der Regel mit f'(x) symbolisiert werden) und die Stammfunktion mit F(x).
Mit Stammfunktionen kann man dann Integrale berechnen.
Begriff
Zu den Begrifflichkeiten: Ableitung ist englisch derivative und dass "Stammfunktion bilden" das Gegenstück zum Ableiten ist, wird durch antiderivative für Stammfunktion gut deutlich.
Deutsch hingegen werden für "Stammfunktion bilden" manchmal die Begriffe Aufleitung bzw. Aufleiten als Gegenstück zu Ableitung / Ableiten verwendet.
Beispiel
Beispiel: Stammfunktion bilden
Man bekommt die abgeleitete Funktion f (x) = x2 vorgelegt.
Aus den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen weiß man, dass F(x) = 1/3 x3 abgeleitet x2 ergibt (die Ableitung von xn ist nxn-1, also bei x3 wäre es 3x2 und da man hier nicht 3x2, sondern x2 als Vorgabe hat, muss man mit 1/3 multiplizieren).
Aber auch F(x) = 1/3 x3 + 1 oder F(x) = 1/3 x3 + 17 würde abgeleitet x2 ergeben (da die Konstante beim Ableiten wegfällt).
Man schreibt deshalb (mit C für Constant: englisch für Konstante bzw. Integrationskonstante) F(x) = 1/3 x3 + C und das sind dann Stammfunktionen bzw. Integrale der Funktion f(x) = x2.
Damit kann man dann rechnen, beispielsweise die Fläche unter der Funktion x2 (Fläche zwischen Funktionsgraf und x-Achse) im Intervall 2 bis 4 berechnen:
$$\int_2^4 x^2 dx = \left[\frac{1}{3} x^3 \right]_2^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 18,67$$
(Hier wird erst die obere Grenze des Intervalls, also 4, für x eingesetzt und der Term berechnet; anschließend wird die untere Grenze des Intervalls, also 2, für x eingesetzt, der Term berechnet und vom ersten Term abgezogen).