Stammfunktion Exponentialfunktion Definition
Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion bzw. e-Funktion f(x) = ex – d.h., eine Funktion, die abgeleitet ex ist – ist F(x) = ex.
Das liegt an der Besonderheit, dass die 1. Ableitung der e-Funktion ex wiederum ex ist.
Auch F(x) = ex + 2 oder F(x) = ex + 100 (allgemein: F(x) = ex + C mit einer Konstanten C) sind Stammfunktionen der e-Funktion, da bei der Ableitung die Konstanten wegfallen.
Ist der Exponent negativ, also f(x) = e-x, ist F(x) = -e-x Stammfunktion.
Alternative Begriffe: Stammfunktion e-Funktion, Stammfunktion von e.
Fazit
- ∫ ex dx = ex + C — die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion.
- Sonderfall negativer Exponent: ∫ e−x dx = −e−x + C.
- Allgemein: ∫ eax dx = (1/a) · eax + C (Kettenregel rückwärts).
- Die Besonderheit ex = (ex)′ macht die e-Funktion einzigartig in der Analysis.
Selbsttest: Stammfunktion Exponentialfunktion
Aufgabe: Stammfunktion der e-Funktion
Bestimmen Sie die allgemeine Stammfunktion von f(x) = ex und berechnen Sie damit ∫02 ex dx.
Stammfunktion: Da (ex)′ = ex, gilt F(x) = ex + C
Einsetzen: F(2) − F(0) = e2 − e0 = e2 − 1 ≈ 6,39
Ergebnis: ∫02 ex dx = e2 − 1 ≈ 6,39
Kontrolle: (ex)′ = ex ✓