Rang einer Matrix
Rang einer Matrix Definition
Der Rang einer Matrix ist die höchste Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten.
Grundidee
In einer Bäckerei kauft ein Kunde eine Semmel und bezahlt dafür 0,50 €. Anschließend kauft ein zweiter Kunde eine Breze für 0,70 €.
Als Matrix A könnte man das so darstellen:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 1 & 0,70 \end{pmatrix}$$
Die Zeilen der Matrix enthalten also links die Stückzahl und rechts den Preis.
Die Matrix enthält somit 2 Informationen: was eine Semmel kostet und was eine Breze kostet.
Angenommen, der zweite Kunde kauft keine Breze, sondern 2 Semmeln und bezahlt dafür 1,00 € (erster Kunde bleibt identisch).
Als Matrix B:
$$B = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 2 & 1,00 \end{pmatrix}$$
Der Informationsgehalt ist geringer als bei der ersten Matrix A; die 2. Zeile ist einfach eine Verdopplung der ersten Zeile (mathematisch: die beiden Zeilen sind linear abhängig).
Im zweiten Fall hat die Matrix B nur eine linear unabhängige Zeile (und eine linear abhängige Zeile), der Rang der Matrix ist 1.
Wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt, ist übrigens die Determinante = 0: $det (B) = 1 \cdot 1,00 - 2 \cdot 0,50 = 1- 1 = 0$.
(Um die Determinante zu berechnen, multipliziert man bei einer 2 × 2-Matrix die beiden Zahlen der links oben beginnenden absteigenden Diagonale (1 und 1,00) und zieht das Produkt der Zahlen der links unten beginnenden aufsteigenden Diagonalen (2 und 0,50) ab.)
Die erste Matrix A hingegen hat 2 linear unabhängige Zeilen, der Rang der Matrix ist 2.
Liegt keine lineare Abhängigkeit vor, ist die Determinante ungleich 0: $det (A) = 1 \cdot 0,70 - 1 \cdot 0,50 = 0,70 - 0,50 = 0,20$.
Alternative Begriffe: Matrix-Rang.
Beispiel
Beispiel: Rang einer Matrix bestimmen
Oben wurde die Bedeutung des Rangs einer Matrix anhand eines Beispiels erklärt.
Für die Matrix B soll nun der Rang der Matrix mathematisch bestimmt werden.
$$B = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 2 & 1,00 \end{pmatrix}$$
Dazu bringt man zunächst die Matrix B in Zeilenstufenform:
$$B = \begin{pmatrix}1 & 0,50 \\ 0 & 0,00 \end{pmatrix}$$
Wir haben hier von der zweiten Zeile der Matrix das 2-Fache der ersten Zeile der Matrix abgezogen (wir ziehen von der linken 2 zweimal 1 ab und von der rechten 1,00 zweimal 0,50); das ergibt eine Nullzeile für die zweite Matrixzeile.
Nur die erste Zeile ist keine Nullzeile, das ist der Rang der Matrix B:
rang(B) = 1.
Für die Matrix A hingegen gelingt es nicht, eine Zeilenstufenform mit mindestens einer Nullzeile herzustellen. Ihr Rang entspricht deshalb der Anzahl ihrer Zeilen:
rang(A) = 2.