Definition
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x) \, dx$ kann also berechnet werden, indem man (irgend)eine Stammfunktion F von f(x) verwendet: Funktionswert der Stammfunktion F für die obere Integrationsgrenze b berechnen, Funktionswert der Stammfunktion F für die untere Integrationsgrenze a berechnen und Differenz bilden.
Beispiel
Beispiel: Hauptsatz anwenden
Es soll das bestimmte Integral $\int_1^2 2x \, dx$ berechnet werden (die Funktion verdoppelt einfach x im Intervall 1 bis 2).
Eine Stammfunktion (eine Funktion, die abgeleitet 2x ergibt) ist x2.
$$\int_1^2 2x \, dx = F(2) - F(1) = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$$
Das bestimmte Integral ist 3 (das entspricht der Fläche unter dem Funktionsgraphen f(x) = 2x im Intervall 1 bis 2).
Fazit
- ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) — beliebige Stammfunktion F von f einsetzen.
- Die Konstante C spielt keine Rolle, da sie sich in F(b) − F(a) heraushebt.
- Schritte: Stammfunktion F(x) bilden → obere Grenze b einsetzen → untere Grenze a einsetzen → Differenz.
- Der Hauptsatz verbindet Differentiation und Integration als Umkehroperationen.
Selbsttest: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgabe: Hauptsatz anwenden
Berechnen Sie ∫25 (2x + 1) dx mithilfe des Hauptsatzes.
Stammfunktion: F(x) = x2 + x
Einsetzen: F(5) − F(2) = (25 + 5) − (4 + 2) = 30 − 6
Ergebnis: 24