Kollineare Vektoren

Beispiel: Kollineare Vektoren

Die Vektoren $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ sind kollineare Vektoren, denn b ist das dreifache von a:

$$b = 3 \cdot a = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Die Vektoren a und b sind (als Pfeile in ein Koordinatensystem eingezeichnet) parallel, der Vektor b hat die dreifache Länge des Vektors a.

Auch der Vektor $c = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ wäre zu Vektor a kollinear; c ist das (-1)-fache des Vektors a und verläuft parallel zu a, allerdings in die entgegengesetzte Richtung (oft als antiparallel bezeichnet).

Nullvektor immer kollinear

Wenn man einen Vektor mit dem Faktor 0 multipliziert, erhält man den Nullvektor; dieser ist deshalb zu jedem Vektor kollinear.

Kollinearität prüfen

Um zu prüfen, ob Vektoren kollinear sind, gibt es je nach Anzahl der Vektorelemente folgende Methoden:

Man betrachtet die Elemente der jeweiligen Vektoren einzeln (also das erste Element, das zweite Element und so weiter) und schaut, ob diese sich immer um denselben Faktor unterscheiden.

Im Beispiel oben stellt man die 1 des Vektors a der 3 des Vektors b gegenüber und die 2 des Vektors a der 6 des Vektors b gegenüber und stellt fest, dass beide sich um den Faktor 3 unterscheiden.

Oder man prüft im dreidimensionalen Raum (also etwa in einem Koordinatensystem mit den 3 Achsen x, y und z) so: 2 Vektoren sind kollinear, wenn ihr Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt 0 ist.

Dazu erweitern wir die beiden obigen Vektoren um ein drittes Element, so dass sie dreidimensional sind:

$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ und } b = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$

Wir bilden nun das Vektorprodukt (obwohl der elementweise Vergleich auch hier einfacher wäre):

$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 6 \\ 3 \cdot 3 - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 6 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis ist der Nullvektor, die Vektoren sind kollinear.