Vektorprodukt

Vektorprodukt Definition

Das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt entsteht, indem zwei Vektoren multipliziert werden und das Ergebnis wiederum ein Vektor ist bzw. sein soll (und nicht eine Zahl wie beim Skalarprodukt).

Das Vektorprodukt ist nur sinnvoll mit 3er-Vektoren bzw. im dreidimensionalen Raum.

Hat man zum Beispiel die 2 Vektoren $$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$$ und $$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$, berechnet sich das Vektorprodukt aus a und b so:

$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) zu den beiden multiplizierten Vektoren ist (Normalenvektor).

Alternative Begriffe: Äußeres Produkt, vektorielles Produkt.

Beispiel

Beispiel: Vektorprodukt berechnen

Man stelle sich die vordere Seite eines Würfels mit 2 cm Kantenlänge in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vor: nach hinten geht die x-Achse, nach rechts die y-Achse und nach oben die z-Achse.

Mit dem Vektor a = (0, 2, 0) kann dann die untere vordere Würfelkante beschrieben werden, mit b = (0, 0, 2) die linke vordere Würfelkante.

Nun berechnet man das Kreuzprodukt:

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die obige Formel lässt sich nur schwer auswendig lernen.

Man kann aber

Schritt 1: die beiden Vektoren ein zweites Mal darunter schreiben (und hat dann sozusagen 6 Zeilen):

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Schritt 2: die erste und die letzte Zeile der 6 Zeilen streichen:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Schritt 3: und abschließend beginnend mit der ersten (nicht gestrichenen) Zeile drei mal über kreuz multiplizieren:

Erste Multiplikation:

$$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

Hier wird also dem gedanklichen Kreuz entlang von der ersten (nicht gestrichenen) Zeile links oben (die Zahl 2) nach der zweiten Zeile rechts (Zahl 2) multipliziert (erstes Produkt) und davon dem gedanklichen Kreuz entlang von der zweiten Zeile links (Zahl 0) nach der ersten Zeile rechts (Zahl 0) multipliziert (zweites Produkt) und dieses zweite Produkt vom ersten abgezogen.

Analog für das zweite Kreuz darunter:

$$= \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 - 0 \cdot 2 \end{pmatrix}$$

Und für das dritte Kreuz darunter:

$$= \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

Ergebnisvektor / Normalenvektor

Der Ergebnisvektor bzw. Normalenvektor (4, 0, 0) – wir nennen ihn c – steht senkrecht auf den beiden Vektoren a und b (bzw. auf der durch diese aufgespannten Würfel-Ebene).

Der Betrag des Ergebnisvektors entspricht der Fläche der durch a und b aufgespannten vorderen Würfelfläche (2 cm × 2 cm = 4 cm2):

$$\vert c \vert = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2}$$

$$= \sqrt{16 + 0 + 0} = \sqrt{16} = 4 \, cm$$

Der Ergebnisvektor geht also nach hinten in den Raum (x-Achse) und ragt mit seiner Länge von 4 cm um 2 cm aus dem Würfel hinaus.