Dreiecksmatrix

Dreiecksmatrix Definition

Sind bei einer quadratischen Matrix (zum Beispiel 3 × 3 - Matrix mit 9 Elementen) alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine sogenannte untere Dreiecksmatrix; sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, ist das eine obere Dreiecksmatrix.

Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 0&-4&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$$

Die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (Diagonale von links oben nach rechts unten, hier mit den Zahlen 1, -4 und 1) sind alle 0.

Beispiel für eine untere Dreiecksmatrix

$$ B = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 1&-4&0 \\ 1&1&1 \end{array} \right)$$

Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind alle 0.

Obere und untere Dreiecksmatrix zugleich

Ist eine Matrix sowohl eine obere als auch eine untere Dreiecksmatrix, ist das eine Diagonalmatrix, zum Beispiel:

$$ B = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-4&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$$

Determinante einer Dreiecksmatrix

Für Dreiecksmatrizen lassen sich Determinanten viel einfacher berechnen als sonst: die Determinante ist einfach das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen, im Beispiel: 1 × (-4) × 1 = -4.

Inverse Matrix einer Dreiecksmatrix

Die inverse Matrix einer (invertierteren) oberen Dreiecksmatrix ist wiederum eine obere Dreiecksmatrix; und analog: die inverse Matrix einer (invertierteren) unteren Dreiecksmatrix ist ebenfalls eine untere Dreiecksmatrix.

Eigenwerte einer Dreiecksmatrix

Auch die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind leichter zu finden: sie stehen in der Hauptdiagonalen, im Beispiel also die Zahlen 1, - 4 und 1 (der Eigenwert 1 tritt hier mehrfach (genauer: zweifach) auf; es gibt jeweils so viel Eigenwerte, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat, hier also 3).

Anwendung

Der Gauß-Algorithmus überführt zum Beispiel Matrizen in eine Dreiecksmatrix, um Gleichungssysteme zu lösen.

Fazit

Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen mit besonderen Eigenschaften; ihre Determinanten und Eigenwerte sind leicht berechenbar bzw. ablesbar.

Einige Rechenverfahren / Algorithmen überführen deshalb Matrizen zunächst in Dreiecksmatrizen, um damit weiter zu rechnen und beispielsweise lineare Gleichungssysteme zu lösen.