Definition
Eine quadratische Matrix hat genauso viele Zeilen wie Spalten.
Beispiele
Eine quadratische 2 × 2 - Matrix:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Eine quadratische 3 × 3 - Matrix:
$$\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
Bedeutung
Vieles aus der Matrix-Algebra kann man nur auf quadratische Matrizen anwenden, zum Beispiel
- die Inverse der Matrix bilden,
- die Spur einer Matrix berechnen,
- eine Matrix potenzieren,
- die Determinante einer Matrix berechnen,
- das charakteristische Polynom und
- Eigenwerte berechnen.
Vorkommen: eher konstruiert als vorhanden
Matrizen, die Daten abbilden, sind selten quadratisch, da es Zufall wäre, wenn die Anzahl der Zeilen genau der Anzahl der Spalten entsprechen würde (sollen in einer Matrix beispielsweise die während eines Schuljahrs erhaltenen Noten für 25 Schüler einer Klasse dargestellt werden, wäre es Zufall, wenn das je 25 Noten wären und die Matrix damit quadratisch).
Die meisten Tabellen (Matrizen) sind eben nicht quadratisch.
Allerdings können mit Matrizen (lineare) Gleichungssysteme gelöst werden und diese ergeben bei zum Beispiel 3 Gleichungen und 3 Unbekannten quadratische Matrizen.
Spezielle quadratische Matrizen
Spezielle quadratische Matrizen sind
- die Diagonalmatrix und
- die Einheitsmatrix.
Fazit
- Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten (n × n).
- Viele Operationen der Linearen Algebra sind nur für quadratische Matrizen definiert: Determinante, Spur, Inverse, Eigenwerte und Potenzierung.
- In der Praxis sind Datenmatrizen selten quadratisch; quadratische Matrizen entstehen natürlich bei linearen Gleichungssystemen mit gleich vielen Gleichungen und Unbekannten.
Selbsttest: Quadratische Matrix
Aufgabe: Quadratische Matrix erkennen
Entscheiden Sie für jede der folgenden Matrizen, ob sie quadratisch ist. Begründen Sie kurz.
- A: 3 × 3 - Matrix
- B: 2 × 5 - Matrix
- C: 4 × 4 - Matrix
- D: 1 × 3 - Matrix
Nennen Sie abschließend zwei Rechenoperationen aus der Linearen Algebra, die ausschließlich für quadratische Matrizen definiert sind.
A (3 × 3): ja – 3 Zeilen = 3 Spalten.
B (2 × 5): nein – 2 Zeilen ≠ 5 Spalten.
C (4 × 4): ja – 4 Zeilen = 4 Spalten.
D (1 × 3): nein – 1 Zeile ≠ 3 Spalten.
Zwei Operationen (Beispiele): Determinante berechnen, Spur berechnen (weitere: Inverse bilden, Eigenwerte berechnen, Matrix potenzieren).