Definition
Mit dem binomischen Lehrsatz lassen sich Potenzen von Binomen, also zweigliedrigen Termen – Beispiel: (x + y)2 – als Polynome (im Beispiel: x2 + 2xy + y2) darstellen.
Der Binomische Lehrsatz lautet (mit n aus den Natürlichen Zahlen einschließlich der 0, also 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter):
$$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot x^{n-k} \cdot y^k$$
Dabei ist $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient (Taschenrechner n:k, also zum Beispiel 2:0 und dann die nCR-Taste).
Die Formel ersetzt das Ausmultiplizieren, das bei höheren Potenzen aufwändig wird.
Alternative Begriffe: Binomialsatz, Binomischer Satz.
Beispiel
Beispiel: Binomischen Lehrsatz anwenden
$$(x + y)^2$$
$$= \binom{2}{0} \cdot x^{2-0} \cdot y^0 + \binom{2}{1} \cdot x^{2-1} \cdot y^1$$
$$+ \binom{2}{2} \cdot x^{2-2} \cdot y^2 $$
$$= 1 \cdot x^2 \cdot 1 + 2 \cdot x \cdot y + 1 \cdot 1 \cdot y^2$$
$$= x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 $$
Falls man die Binomialkoeffizienten nicht mit dem Taschenrechner ausrechnet: hier nochmals die Formel und die Berechnungen für die 3 obigen Binomialkoeffizienten:
Die Formel:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{[ (n - k)! \cdot k ! ]}$$
Dabei ist die Fakultät von zum Beispiel $2! = 2 \cdot 1 = 2$ oder von $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ oder von $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$; Achtung: die Fakultät von 0 (also $0!$) ist per Definition 1 (und $1!$ ist auch 1).
Für das Beispiel:
$$\binom{2}{0} = \frac{2!}{[ (2 - 0)! \cdot 0! ]}$$
$$= \frac{2 \cdot 1}{[ (2 \cdot 1) \cdot 1]} = \frac{2}{2} = 1$$
$$\binom{2}{1} = \frac{2!}{[ (2 - 1)! \cdot 1! ]}$$
$$= \frac{2 \cdot 1}{(1 \cdot 1)} = \frac{2}{1} = 2$$
$$\binom{2}{2} = \frac{2!}{[ (2 - 2)! \cdot 2! ]}$$
$$= \frac{2 \cdot 1}{(1 \cdot 2)} = \frac{2}{2} = 1$$
Zahlenbeispiel
Mit beispielhaften Zahlen, etwa x = 2 und y = 5:
$$(2 + 5)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 + 5^2 $$
$$7^2 = 4 + 20+ 25$$
$$49 = 49$$
Das entspricht der 1. binomischen Formel (die statt x und y in der Regel a und b verwendet):
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Die allgemeine Formel des binomischen Lehrsatzes funktioniert aber genauso für höhere Potenzen wie (x + y)3 und so weiter.
Alternative: Ausmultiplizieren
Bei dieser kleinen Potenz von 2 hätte man auch ausmultiplizieren können:
$$(x + y)^2 = (x + y) \cdot (x + y)$$
$$= x \cdot x + x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y$$
$$= x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2$$
Bei höheren Potenzen wie zum Beispiel $(x + y)^5$ wird das aber sehr aufwändig.
Fazit
- $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot x^{n-k} \cdot y^k$ – der Binomische Lehrsatz entwickelt jede Potenz eines Binoms als Polynom.
- Die Koeffizienten $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$ heißen Binomialkoeffizienten; die Entwicklung hat $n+1$ Summanden.
- Für $n = 2$ ergibt sich die 1. binomische Formel: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
- Besonders nützlich bei höheren Potenzen, wo das Ausmultiplizieren sehr aufwändig wird.
Selbsttest: Binomischer Lehrsatz
Aufgabe: Binomischer Lehrsatz
Entwickeln Sie $(x + 2)^3$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.
Formel: $(x+2)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} \cdot x^{3-k} \cdot 2^k$
Einsetzen:
$\binom{3}{0} x^3 \cdot 1 + \binom{3}{1} x^2 \cdot 2 + \binom{3}{2} x \cdot 4 + \binom{3}{3} \cdot 8$
$= 1 \cdot x^3 + 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 4x + 1 \cdot 8$
Ergebnis: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
Probe ($x = 1$): $(1+2)^3 = 27$ und $1 + 6 + 12 + 8 = 27$ ✓