Definition
Die Eulersche Zahl $e$ ist eine wichtige mathematische Konstante, sie hat unendlich viele Nachkommastellen, mit 5 Nachkommastellen ist sie 2,71828.
Die Euler-Zahl $e$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion und mit ihr kann eine stetige Verzinsung berechnet werden.
Auf dem Taschenrechner ist sie indirekt als $e^x$ zu finden (1 und dann die $e^x$-Taste aktivieren, das ist dann $e^1 = e = 2,718281828$).
Die Zahl e ist der Grenzwert von:
$$\lim\limits_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$$
Setzt man für unendlich $\infty$ stellvertretend eine hohe Zahl wie 1.000.000 ein, kommt man schon nahe heran:
$$(1 + \frac{1}{1.000.000})^{1.000.000} = 2,718281378$$
Die Zahl e ist eine irrationale Zahl (lässt sich also nicht als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen).
Alternative Begriffe: e-Zahl, Euler-Zahl, Eulersche Konstante, Eulerzahl.
Fazit
- $e \approx 2{,}71828$ ist eine irrationale Konstante mit unendlich vielen Nachkommastellen.
- Grenzwert: $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ – je größer $n$, desto näher der Ausdruck an $e$.
- $e$ ist Basis des natürlichen Logarithmus $\ln$ und der natürlichen Exponentialfunktion; nutzbar für stetige Verzinsung.
Selbsttest: Eulersche Zahl
Aufgabe: Eulersche Zahl
Berechnen Sie den Näherungswert für $e$ mit $n = 100$ mithilfe der Formel $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit $e \approx 2{,}71828$.
Formel: $\left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} = (1{,}01)^{100}$
Berechnung (Taschenrechner): $(1{,}01)^{100} \approx 2{,}7048$
Vergleich: $2{,}7048$ liegt bereits nahe an $e \approx 2{,}71828$, zeigt aber, dass der exakte Wert erst für $n \to \infty$ erreicht wird. Für $n = 1{.}000{.}000$ ergibt sich $\approx 2{,}71828$.