Definition
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl 2,718281828; hier mit 9 Nachkommastellen dargestellt) und wird üblicherweise mit ln gekennzeichnet:
ln(y) = logey (Logarithmus von y zur Basis e)
Alternative Begriffe: ln-Funktion, ln-Logarithmus, logarithmus naturalis (ln), natürliche Logarithmusfunktion, natürlicher Log.
Beispiel
Beispiel: Logarithmus von 2 zur Basis e
ln(2) = loge2 = 0,693147181
Das Ergebnis erhält man auf dem Taschenrechner, indem man 2 und anschließend die LN-Taste drückt.
Das beantwortet die Frage "e hoch welche Zahl ist 2?": 2,7182818280,693147181 = 2 (ggfs. kleine Rundungsdifferenzen).
Es gilt:
ln(1) = 0
ln(e) = 1
Der natürliche Logarithmus ist nur für positive reelle Zahlen definiert, für negative Zahlen oder die Null liefert der Taschenrechner eine Fehlermeldung.
Die ln-Funktion lautet:
$$f(x) = ln(x)$$
Die Ableitung ln ist:
$$f'(x) = \frac{1}{x}$$
Fazit
- ln(x) = loge(x) ist der Logarithmus zur Eulerschen Zahl e ≈ 2,718.
- Sonderfälle: ln(1) = 0 und ln(e) = 1.
- Definitionsbereich: nur x > 0; für x ≤ 0 ist ln nicht definiert.
- Ableitung der ln-Funktion: f′(x) = 1/x.
Selbsttest: Natürlicher Logarithmus
Aufgabe: Natürlicher Logarithmus
Berechnen Sie:
a) ln(e4)
b) Die Ableitung von f(x) = ln(2x) an der Stelle x = 2
a) ln(e4):
Da ln(ey) = y gilt:
$$\ln(e^4) = 4$$
b) Ableitung von f(x) = ln(2x) an der Stelle x = 2:
Kettenregel: f′(x) = 2/(2x) = 1/x
$$f'(x) = \frac{1}{x}$$
$$f'(2) = \frac{1}{2}$$