Definition
Mit der Potenzregel der Integration kann man die Stammfunktion einer Potenz finden:
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$$
Alternative Begriffe: Potenzregel Integration.
Beispiel
Beispiel: Potenzregel Integral
Die Funktion sei
$$f(x) = x^2$$
Und das Integral sei
$$\int x^2 \, dx$$
n ist also 2; die Stammfunktion F(x) ist dann:
$$F(x) = \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + C = \frac{x^3}{3} + C$$
Kontrolle:
Die 1. Ableitung von $\frac{x^3}{3} + C$ ist $x^2$:
Die Konstante C fällt beim Ableiten weg und die Ableitung von $\frac{x^3}{3}$ bzw. $\frac{1}{3} \cdot x^3$ ist $\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 = \frac{3}{3} \cdot x^2 = x^2$.
Fazit
- ∫ xn dx = xn+1 / (n+1) + C — gilt für alle n ≠ −1.
- Umkehrung der Potenzregel beim Differenzieren: Exponent um 1 erhöhen, durch neuen Exponenten dividieren.
- Sonderfall n = −1: ∫ x−1 dx = ∫ (1/x) dx = ln(x) + C.
- Basis für alle weiteren Integrationsregeln (Summen-, Faktorregel).
Selbsttest: Potenzregel Integral
Aufgabe: Potenzregel anwenden
Bestimmen Sie die allgemeine Stammfunktion von f(x) = x5 mithilfe der Potenzregel und überprüfen Sie das Ergebnis.
Potenzregel: ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C mit n = 5
Einsetzen: F(x) = x6/6 + C
Ergebnis: F(x) = x6/6 + C
Kontrolle: (x6/6)′ = 6x5/6 = x5 ✓