Nilpotente Matrix
Definition
Eine quadratische Matrix A ist nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n größer 1 (also 2, 3, 4, 5 ...) oder gleich 1 (nur bei der Nullmatrix selbst der Fall) gibt, für die gilt:
An = 0
Das heißt: A potenziert mit n ergibt die Nullmatrix.
Es kann auch mehrere derartige Potenzen geben, zum Beispiel kann das Quadrat A2 und die kubische Potenz A3 die Nullmatrix ergeben; die kleinste derartige Potenz ist dann der Nilpotenzgrad bzw. Nilpotenzindex.
Beispiel
Die Matrix A
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
ist nilpotent, denn die Matrix quadriert bzw. in Potenz 2 gesetzt ergibt die Nullmatrix:
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Die zweite Potenz von A ergibt die Nullmatrix, der Nilpotenzgrad ist 2.