Cauchy-Schwarz-Ungleichung Definition
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist ein Theorem, das besagt:
$$\vert a \cdot b \vert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert$$
(Hinweis: wir schreiben die Vektoren hier vereinfacht mit den Buchstaben a und b, ohne Pfeile oder Ähnliches).
In Worten:
Der Betrag des Skalarprodukts aus 2 Vektoren ist generell kleiner gleich dem Produkt der Beträge bzw. Längen der beiden Vektoren.
Beispiel
Beispiel: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit einem Zahlenbeispiel (das ist natürlich kein Beweis):
Die Vektoren sind:
$$a = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$
$$b = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Dann lautet die Ungleichung:
$$\vert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \vert \leq \lVert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \rVert \cdot \lVert \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \rVert$$
Wir berechnen erst das Skalarprodukt auf der linken Seite der Ungleichung (das Betragszeichen lassen wir hier schon weg, das Skalarprodukt ist positiv):
$$3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$$
Und nun die Beträge der beiden Vektoren auf der rechten Seite:
Der Betrag des ersten Vektors ist:
$$\Vert a \Vert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
Der Betrag des zweiten Vektors ist:
$$\Vert b \Vert = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
Das Produkt der beiden Beträge ist:
$$ 5 \cdot 5 = 25$$
Ergebnis
Die linke Seite der Gleichung ist mit 24 kleiner als die rechte Seite der Gleichung; die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist hier erfüllt.
Fazit
- Cauchy-Schwarz: |a · b| ≤ ||a|| · ||b|| – der Betrag des Skalarprodukts ist kleiner gleich dem Produkt der Vektorlängen.
- Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b parallel (linear abhängig) sind.
- Sie gilt für alle reellen Vektoren, unabhängig von der Dimension.
- Anwendung: Herleitung des Winkels zwischen Vektoren und Normierungssätze in der Analysis.
Selbsttest: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Aufgabe: Cauchy-Schwarz-Ungleichung prüfen
Gegeben sind die Vektoren:
$$a = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$
Zeigen Sie, dass die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |a · b| ≤ ||a|| · ||b|| erfüllt ist.
Linke Seite – Skalarprodukt:
$$a \cdot b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 2 + 2 + 4 = 8 \quad \Rightarrow \quad |a \cdot b| = 8$$
Rechte Seite – Produkt der Beträge:
$$\|a\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$
$$\|b\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$
$$\|a\| \cdot \|b\| = 3 \cdot 3 = 9$$
Ergebnis:
$$8 \le 9 \quad \checkmark$$