Definition
Teilt man die Funktionswerte einer Funktion f(x) durch die x-Werte, erhält man die Durchschnittsfunktion d(x).
Formel
d(x) = f(x) / x
Anwendung
Ökonomische Durchschnittsfunktionen werden zum Beispiel für Kosten (siehe Durchschnittskosten) oder Erlöse berechnet.
Beispiel
Beispiel: Durchschnittsfunktion
Es gibt eine Heuschreckenplage. Die Funktion f(x) = 10x soll darstellen, welche Flächen in Quadratmetern (qm) gemessen Heuschrecken nach x Tagen besetzen.
Nach einem Tag Tag wären es f(1) = 101 = 10 qm.
Nach zwei Tagen wären es f(2) = 102 = 100 qm.
Nach drei Tagen wären es f(3) = 103 = 1.000 qm.
Und so weiter.
Durchschnittsfunktion berechnen
d(x) = f(x) / x = 10x / x
Damit kann man beispielsweise die durchschnittliche Ausbreitung pro Tag nach 2 Tagen berechnen:
d(2) = f(2) / 2 = 102 / 2 = 50 qm.
Die durchschnittliche Ausbreitung nach 3 Tagen:
d(3) = f(3) / 3 = 103 / 3 = 333,3 qm.
Fazit
- d(x) = f(x) / x – die Durchschnittsfunktion gibt den Funktionswert je x-Einheit an
- Anwendung: Durchschnittskosten (Kosten je Stück), Durchschnittserlös, durchschnittliche Ausbreitung – überall wo ein Gesamtwert auf x aufgeteilt wird
- Die Durchschnittsfunktion ist nur für x ≠ 0 definiert (Division durch null nicht möglich)
- Minimum der Durchschnittsfunktion: Schnittpunkt mit der Grenzfunktion f′(x) – dort sind Grenz- und Durchschnittswert gleich
Selbsttest: Durchschnittsfunktion
Aufgabe: Durchschnittsfunktion
Eine Kostenfunktion lautet K(x) = 2x2 + 8x + 40.
Bestimmen Sie die Durchschnittskostenfunktion k(x) = K(x) / x und berechnen Sie k(4) sowie k(10).
Durchschnittskostenfunktion:
k(x) = K(x) / x = (2x2 + 8x + 40) / x = 2x + 8 + 40 / x
k(4): k(4) = 2 · 4 + 8 + 40 / 4 = 8 + 8 + 10 = 26 € je Stück
k(10): k(10) = 2 · 10 + 8 + 40 / 10 = 20 + 8 + 4 = 32 € je Stück