Charakteristisches Polynom

Charakteristisches Polynom Definition

Mit dem charakteristischen Polynom können Eigenwerte (und anschließend Eigenvektoren) einer quadratischen Matrix berechnet werden, indem dessen Nullstellen bestimmt werden.

p(λ) = det(A - λ × E) = 0

Dabei ist E die Einheitsmatrix.

Beispiel

Beispiel: Charakteristisches Polynom berechnen

Die Matrix A aus dem Beispiel zu Eigenwerten war:

Eigenwerte berechnen

$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Zieht man davon das λ-fache der Einheitsmatrix ab, ist A - λ × E:

$$A - λ \cdot E = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 - λ & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - λ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - λ & 1 \\ 0 & 3 - λ \end{pmatrix}$$

Die Determinante gleich Null gesetzt ist:

$$det(A - λ E) = (1 - λ) \cdot (3 - λ) - 0 \cdot 1 = 0$$

$$= 3 - λ - 3 \cdot λ + λ^2 = 0$$

$$=λ^2 - 4 \cdot λ + 3 = 0$$

Das ist eine quadratische Gleichung, die sich z.B. mit der p-q-Formel lösen lässt:

Die p-q-Formel lautet allgemein:

$$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$

In der obigen Gleichung ist p = -4 und q = +3. Das gibt dann 2 Lösungen λ1 und λ2:

$$λ_1 = \frac{-(-4)}{2} + \sqrt {\left (\frac {-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt {4-3} = 2 + 1 = 3$$

$$λ_2 = \frac{-(-4)}{2} - \sqrt {\left (\frac {-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt {4-3} = 2 - 1 = 1$$

Die Eigenwerte der Matrix A sind 3 und 1.

Eigenvektoren berechnen

Hat man die Eigenwerte berechnet, kann man für diese die Eigenvektoren berechnen.

Dazu wird folgende Gleichung gleich 0 gesetzt:

(A - λ × E) × x = 0

Dabei ist A die Matrix, λ ist ein Eigenwert und x ist der gesuchte Eigenvektor.

Dazu rechnet man erst mal (A - λ × E) aus; Für den Eigenwert 3:

$$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Mit welchem Vektor muss man dies multiplizieren, um den Nullvektor als Ergebnis zu bekommen? Bezeichnet man die beiden Elemente des Vektors mit x1 und x2, muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden

$$\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die untere Zeile spielt hier keine Rolle, da die Zeile wegen der beiden 0 immer 0 ergeben wird. Dann bleibt als Gleichung zu lösen:

$$-2 x_1 + 1 x_2 = 0$$

Das ist z.B. erfüllt für x1 = 1 und x2 = 2 bzw. den Vektor:

$$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Kontrolle

Es muss erfüllt sein (vgl. Eigenwertproblem):

A × x = λ × x

$$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Weitere Eigenvektoren zum Eigenwert 3 sind Vielfache dieses Vektors, also z.B.

$$\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Für den zweiten Eigenwert 1 können Eigenvektoren analog berechnet werden.