Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Definition
Lineare Gleichungssysteme (kurz: LGS) bestehen aus 2 oder mehr linearen Gleichungen mit 2 oder mehr Variablen.
Beispiel (2 Gleichungen mit 2 Variablen x und y)
$$x + y = 3$$
$$2x - 2y = -2$$
Die Lösungen sind x = 1 und y = 2. Damit stimmen beide Gleichungen:
$$1 + 2 = 3$$
$$2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$$
Man unterscheidet zwischen einem homogenen linearen Gleichungssystem, bei dem die Werte auf der rechten Seite alle 0 sind und einem inhomogenen Gleichungssystem, bei dem mindestens ein Wert auf der rechten Seite ungleich 0 ist (wie im Beispiel).
Ein lineares Gleichungssystem kann 1) keine Lösung haben, 2) genau eine Lösung (wie im Beispiel oben) oder 3) unendlich viele Lösungen. Wenn man zwei Gleichungen grafisch abbildet, können diese parallel verlaufen (keine Lösung), sich in einem Punkt schneiden (genau eine Lösung) oder aufeinander liegen (unendlich viele Lösungen).
Hat das LGS mindestens eine Lösung (d.h. eine oder unendlich viele), heißt es konsistent oder lösbar. Hat es keine Lösung, heißt es inkonsistent oder unlösbar.
Es gibt zahlreiche Methoden, lineare Gleichungssysteme zu lösen, z.B.