Definition
Bei einer Teleskopsumme summiert man mit dem Summenzeichen Differenzen auf.
Dabei heben sich außer dem ersten und letzten Glied der Summe je zwei Nachbarn gegenseitig auf (also das 2. und 3. Glied, das 4. und 5. Glied und so weiter) und die Summe kann vereinfacht berechnet werden.
$$\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i+1})$$
$$= (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - a_4)$$
$$+ \ldots + (a_n - a_{n+1})$$
$a_2, a_3$ und so weiter kürzen sich raus, übrig bleibt nur: $a_1 - a_{n+1}$
Beispiel
$a_i$ stehe für $i^2$ (der Laufindex wird also quadriert) und die Summe laufe von 1 bis 4.
Dann ist eine mögliche Teleskopsumme:
$$\sum_{i=1}^4 (a_i - a_{i+1})$$
$$= \sum_{i=1}^4 (i^2 - (i+1)^2)$$
$$= (1^2 - 2^2) + (2^2 - 3^2) + (3^2 - 4^2)$$
$$+ (4^2 - 5^2)$$
$$= (-3) + (-5) + (-7) + (-9) = -24$$
Die Teleskopsumme verkürzt berechnet:
$$\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}$$
$$= 1^2 - (4+1)^2 = 1 - 25 = -24$$
Fazit
- Teleskopsumme: $\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}$ – alle mittleren Glieder heben sich gegenseitig auf
- Das Ergebnis hängt nur vom ersten und letzten Glied ab, unabhängig von n
- Beispiel: $\sum_{i=1}^{4} (i^2 - (i+1)^2) = 1^2 - 5^2 = 1 - 25 = -24$
Selbsttest: Teleskopsumme
Aufgabe: Teleskopsumme berechnen
Berechnen Sie $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} (i - (i+1))$ mit der Teleskopsummen-Formel und überprüfen Sie das Ergebnis durch gliedweise Addition.
Teleskopsummen-Formel mit $a_i = i$:
$\sum_{i=1}^{5} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1} = 1 - 6 = -5$
Überprüfung gliedweise:
(1−2) + (2−3) + (3−4) + (4−5) + (5−6) = −1 − 1 − 1 − 1 − 1 = −5 ✓