Tautologie
Tautologie Definition
Eine Tautologie in der Aussagenlogik ist eine verknüpfte Aussage, die immer wahr ist.
Beispiel
"Heute ist Montag oder ein anderer Wochentag.": dies besteht aus zwei verknüpften Aussagen: 1) "Heute ist Montag." und 2) "(Heute ist) ein anderer Wochentag."
Wenn heute wirklich Montag ist, ist die erste Aussage wahr, die zweite Aussage ist nicht wahr und die mit "ODER" verknüpfte Aussage ist wahr.
Wenn heute nicht Montag ist, ist die erste Aussage falsch, die zweite Aussage ist wahr und die verknüpfte Aussage ist wahr.
Also: egal, ob Montag ist oder nicht – die verknüpfte Aussage ist immer wahr und damit eine Tautologie.
Gegenstück: Kontradiktion
Das Gegenstück zur Tautologie ist die Kontradiktion, eine (verknüpfte) Aussage, die immer falsch ist.
Alternative Begriffe: Allgemeingültige Aussage.
Beispiel
Beispiel: Tautologie mit Wahrheitstafel
Auch "Es schneit oder es schneit nicht." ist eine Tautologie.
Eine Wahrheitstafel, welche die Wahrheitswerte der einzelnen Aussagen sowie die daraus zusammengesetzten Aussagen in einer Tabelle abbildet, dazu sieht so aus.
| A | $\lnot A$ | $A \lor \lnot A$ |
|---|---|---|
| w | f | w |
| f | w | w |
Dabei steht A für "Es schneit" und $\lnot A$ ("NICHT A") für "Es schneit nicht" (Negation) und $\lor$ steht für eine ODER-Verknüpfung.
Und "w" steht für "wahr" und "f" für "falsch". So ist die Disjunktion (ODER-Verknüpfung) von A und $\lnot A$ wahr, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist; das ist hier in allen Fällen so:
Wenn "Es schneit" wahr ist und entsprechend "Es schneit nicht" falsch ist, ist die ODER-Verknüpfung "Es schneit" ODER "Es schneit nicht" wahr.
Und umgekehrt: Wenn "Es schneit" falsch ist und entsprechend "Es schneit nicht" wahr ist, ist die ODER-Verknüpfung "Es schneit" ODER "Es schneit nicht" ebenfalls wahr.
Die Wahrheitswerte in der Ergebnisspalte (letzte Spalte) der Wahrheitstabelle sind alle "wahr"; es handelt sich um eine Tautologie.